Anneau noethérien
Bonsoir, j'ai besoin d'inspiration pour un exercice. Si $R$ est un anneau (commutatif, unitaire) noethérien, j'ai montré qu'un morphisme d'anneau surjectif $f:R\to R$ est aussi injectif.
Je cherche donc maintenant un anneau (nécessairement non noethérien) $R$ ainsi qu'un morphisme d'anneau surjectif $f:R\to R$ qui n'est pas injectif. Le premier problème que je rencontre est que je ne connais pas d'anneau non noethérien relativement simple. Les seuls exemples que j'ai en tête sont l'anneau des fonctions entières $\mathcal H(\C)$, l'anneau des entiers de $\C$ (que je note $\mathcal O_{\C}$) et l'anneau $\C[X_1,X_2,\ldots ]$.
Si l'un de vous avait quelques pistes, je suis preneur.
Je cherche donc maintenant un anneau (nécessairement non noethérien) $R$ ainsi qu'un morphisme d'anneau surjectif $f:R\to R$ qui n'est pas injectif. Le premier problème que je rencontre est que je ne connais pas d'anneau non noethérien relativement simple. Les seuls exemples que j'ai en tête sont l'anneau des fonctions entières $\mathcal H(\C)$, l'anneau des entiers de $\C$ (que je note $\mathcal O_{\C}$) et l'anneau $\C[X_1,X_2,\ldots ]$.
Si l'un de vous avait quelques pistes, je suis preneur.
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Réponses
$$ u\mapsto (n\mapsto u(n+1))$$
Si f est un morphisme surjectif mais pas injectif il n'y a pas d'idéal maximal parmi ceux stables par f, inclus dans leur image réciproque.