Minimisation astucieuse

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Algèbre
Bonjour,

Soient $a, b, x, y$ des réels positifs ; je veux minimiser $f = a/x + b/y$, sachant que $x + y = s$.
En faisant $fs = (x+y)(a/x + b/y) = a + b + b(x/y + ay/bx)$, je constate que le problème revient à minimiser $x/y + ay/bx$, somme de deux termes dont le produit $a/b$ est constant ; par conséquent, $f$ est minimal pour $x/(s - x) = \sqrt{a/b}$, ce qui donne $x = s\sqrt a/(\sqrt a + \sqrt b)$.

Merci à Honoré Alphonse Desboves (3e à l'agrégation en 1843).

A+
Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)

Réponses

  • marsup
    marsup
    Joli !

    Pour $p = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ et $q = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, d'où $p+q=1$, on a :$
    \begin{aligned}[t]
    \frac{f}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} & = \frac{q}{x'} + \frac{p}{y'}, \\
    \frac{s}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} & = q \cdot x' + p \cdot y'.
    \end{aligned}
    $ où $x' = \frac{x}{\sqrt{a}}$ et $y' = \frac{y}{\sqrt{b}}$

    Comme la moyenne harmonique est $\le$ la moyenne arithmétique, on a $
    \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{f} \le
    \frac{s}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, avec égalité ssi $x'=y'$, et $f_{\min} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{s}$.

    ... Facile, une fois qu'on connaît la réponse !
  • jandri
    jandri
    On peut généraliser à une somme de $n$ termes.

    $f=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac {a_k}{x_k}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{\dfrac {a_k}{x_k}}-b\sqrt{x_k}\right)^2-b^2\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k+2b\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{a_k}\geq 2b\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{a_k}-b^2s$.

    La meilleure minoration est obtenue en choisissant $b=\dfrac1s\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt {a_k}$ et elle vaut $\dfrac1s\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{a_k}\right)^2$.

    On l'obtient pour $x_k=\dfrac{\sqrt{a_k}}b$ qui vérifient bien $\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k=s$.
  • PierreB
    PierreB
    Je ne comprends pas bien l'astuce. Ce n'est pas juste l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité?

    Pierre.
  • jandri
    jandri
    C'est effectivement immédiat avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
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