Question sur les éléments de Z/nZ
Bonjour,
J'ai une question très basique sur les éléments de Z/nZ.
Prenons par exemple Z/3Z muni de l'addition, je note ses éléments: $ \hat{0}, \hat{1} $ et $ \hat{2} $.
Est-ce que ça a du sens d'écrire: $ \hat{1} + \hat{2} = \hat{3} = \hat{0} $ ? ou bien faut-il éviter $ \hat{3} $ pour écrire directement $\hat{0} $ ?
J'ai une question très basique sur les éléments de Z/nZ.
Prenons par exemple Z/3Z muni de l'addition, je note ses éléments: $ \hat{0}, \hat{1} $ et $ \hat{2} $.
Est-ce que ça a du sens d'écrire: $ \hat{1} + \hat{2} = \hat{3} = \hat{0} $ ? ou bien faut-il éviter $ \hat{3} $ pour écrire directement $\hat{0} $ ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La classe de 3 est-elle la classe de 0 ?
Cordialement.
La classe d’équivalence de 3 est bien celle de 0.
-- Schnoebelen, Philippe
$\mathbb Z / 3\mathbb Z$ est un ensemble à 3 éléments, si tu notes ses éléments $a$, $b$, $c$, ou bien $\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}$, alors que signifie $d$ ou bien $\hat{3}$ ?
En revanche, je peux très bien noter $n \mapsto \hat{n}$ la fonction qui a $n \in \mathbb Z$ associe sa classe d'équivalence. Et dans ce cas, par définition $\hat{n} \in \mathbb Z / 3\mathbb Z$ pour tout $n$. Donc $\hat{3}$ a bien un sens, il s'avère que $\hat{3} = \hat{0}$ ($= \{ 3k \mid k \in \mathbb Z\}$), et il s'avère que $\mathbb Z / 3\mathbb Z = \{\hat 0, \hat 1, \hat 2\}$.
Donc tout dépend de si tu as définis ta fonction chapeau auparavant, ou plus exactement si tu es au clair sur ce que ça représente. Si oui, alors $\hat 3$ fait parfaitement sens.
Effectivement je sais bien que la classe d'équivalence de 3 et la même que celle de 0, mais le fait de voir écrit dans un livre $ \mathbb Z / 3\mathbb Z = \{\hat 0, \hat 1, \hat 2\} $ m'a fait douter: ai-je de droit de "sortir" de ces trois éléments? Je vois à présent que oui grâce à vos réponses rapides.
Merci à vous.
C'est normal puisqu'il n'y en a pas ! Les éléments de $\mathbb Z/3 \mathbb Z$ sont les trois classes d'équivalence des entiers pour la relation de congruence modulo $3$.
En un sens, tu n'as pas le droit de sortir des 3 éléments de $\mathbb Z / 3\mathbb Z$, puisqu'il n'y en a pas d'autre !
Mais si tu vois chapeau comme une fonction (surjective) de $n$ dans $\mathbb Z / 3\mathbb Z$, alors tu peux considérer $\hat n$ pour n'importe quel entier $n$, c'est juste que forcément, il sera égal à $\hat 0$, ou $\hat 1$, ou $\hat 2$, car il n'y a pas d'autres classes d'équivalences. En écrivant $\hat 3 = \hat 0$, on n'est pas sorti de notre ensemble quotient, on dit juste que c'est le même élément dans l'ensemble quotient, i.e. la même classe d'équivalence.
Donc $\mathbb Z / 3 \mathbb Z = \{ \hat 0, \hat 1, \hat 2\} = \{ \hat 3, \hat 1, \hat 2\} = \{ \hat 0, \hat 1, \hat 2, \hat 3\}$, cette dernière notation étant trompeuse, car $\{ \hat 0, \hat 1, \hat 2, \hat 3\}$ possède bien seulement 3 éléments distincts et non pas 4, car $\hat 3 = \hat 0$.
Il n'y a que 3 classes d'équivalences, mais il y a beaucoup de représentants de ces classes.
Pour rappel, des classes d'équivalences ne sont qu'une partition de l'ensemble de départ, un représentant d'une classe c'est n'importe quel élément de sa classe d'équivalence, et la fonction chapeau c'est celle qui associe à un élément de l'ensemble de départ son unique classe d'équivalence (i.e. l'ensemble de la partition auquel il appartient).
Bon sans dessin c'est moins clair je sais ...
Une classe d’équivalence, par exemple $\hat 2$ c’est un ensemble.
Dans ce cadre, on effectue des additions d’ensembles, et des soustractions d’ensembles.
Et même après des multiplications d’ensembles et, quand c’est permis, des divisions d’ensembles.
Il ne s’agit pas des opérations de $\mathbb Z$.
Même si l’on est aidé par nos calculs de l’école primaire car ces nouvelles opérations fonctionnent très bien comme les usuelles.