Vocabulaire relation d'ordre
Bonjour,
quelques questions sur les relations d'ordre. Je dispose d'un ensemble $E$ et d'une relation d'ordre $\leq$ sur $E$.
On dit que :
Merci et bonne journée
F.
quelques questions sur les relations d'ordre. Je dispose d'un ensemble $E$ et d'une relation d'ordre $\leq$ sur $E$.
On dit que :
- $E$ est bien ordonné si $\forall x,y \in E$, on a $x \leq y$ ou $y \leq x$ ;
- l'ordre est artinien si toute suite décroissante est stationnaire, ce qui doit être équivalent au fait que toute partie non vide possède un plus petit élément ou qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante ;
- totalement ordonné s'il est bien ordonné et que l'ordre est artinien ;
- inductif si toute suite croissante est stationnaire ;
Merci et bonne journée
F.
Réponses
-
Ton premier point c'est la définition d'ensemble totalement ordonné. La notion de bon ordre est bien plus forte ($\mathbb R$ est totalement ordonné pour l'ordre usuel mais certainement pas bien ordonné). En fait dans ton troisième point c'est correct si tu échanges "bon ordre" et "ordre total".
Je ne vois pas en quoi un ordre artinien devrait être un bon ordre (rappel : toute partie non vide admet un minimum). Par contre c'est bien équivalent au fait qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante.
Non, il n'y a aucune raison que toute partie d'un ensemble, même totalement ordonné, existe. Ce n'est déjà pas le cas dans $\mathbb R$. Le symbole $+\infty$ n'est pas un élément de $\mathbb R$. Dans $\mathbb R \cup \{-\infty, +\infty\}$ toute partie admet effectivement une borne supérieure. -
Bonsoir et merci de ta réponse,
donc pour résumer:- un ordre est artinien s'il n'existe pas de suites strictement décroissante
- un bon ordre est un ordre tel que toute partie non vide admette un élément minimal
- et donc un ensemble est bien ordonné si et seulement si l'ordre est total et artinien
- par contre un ordre "seulement" artinien n'est pas nécessairement un bon ordre.
Bonne soirée
F. -
Ça m'a l'air d'être ça oui !
-
Par contre je dirais de remplacer la phrase : "un bon ordre est un ordre tel que toute partie non vide admette un élément minimal" par la phrase "un bon ordre est un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément"
-
Oui bonne remarque raoul.S.
-
Effectivement Raoul..
Merci à vous deux ;-)
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