Vocabulaire relation d'ordre
Bonjour,
quelques questions sur les relations d'ordre. Je dispose d'un ensemble $E$ et d'une relation d'ordre $\leq$ sur $E$.
On dit que :
Merci et bonne journée
F.
quelques questions sur les relations d'ordre. Je dispose d'un ensemble $E$ et d'une relation d'ordre $\leq$ sur $E$.
On dit que :
- $E$ est bien ordonné si $\forall x,y \in E$, on a $x \leq y$ ou $y \leq x$ ;
- l'ordre est artinien si toute suite décroissante est stationnaire, ce qui doit être équivalent au fait que toute partie non vide possède un plus petit élément ou qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante ;
- totalement ordonné s'il est bien ordonné et que l'ordre est artinien ;
- inductif si toute suite croissante est stationnaire ;
Merci et bonne journée
F.
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Réponses
Je ne vois pas en quoi un ordre artinien devrait être un bon ordre (rappel : toute partie non vide admet un minimum). Par contre c'est bien équivalent au fait qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante.
Non, il n'y a aucune raison que toute partie d'un ensemble, même totalement ordonné, existe. Ce n'est déjà pas le cas dans $\mathbb R$. Le symbole $+\infty$ n'est pas un élément de $\mathbb R$. Dans $\mathbb R \cup \{-\infty, +\infty\}$ toute partie admet effectivement une borne supérieure.
donc pour résumer:
Bonne soirée
F.
Merci à vous deux ;-)