Famille infinie

On n'impose rien du tout. Une combinaison linéaire, par définition ça ne fait intervenir qu'un nombre fini de vecteurs, et quand on parle de coordonnées d'un vecteur dans une base, ça se réfère à la manière dont on peut écrire ce vecteur comme combinaison linéaire des éléments de cette base (ce qui peut toujours se faire, et de manière unique, par définition d'une base).

Il y a d'autres notions qui portent le nom de base, notamment la notion de base hilbertienne, mais le langage est trompeur, une base hilbertienne n'est en général pas une base. On précise parfois en parlant de base algébrique pour souligner la différence.

Pour ta deuxième question c'est facile : dans $\ell^{\infty}$, prend la famille usuelle des $e_i$ (avec un $1$ en position $i$ et $0$ partout ailleurs) et retires-en autant d'éléments que tu veux tout en en gardant une infinité.

Bonsoir,

pour compléter ce qui a été dit, un espace vectoriel n'est a priori muni que de deux lois l'addition et la multiplication par un scalaire. Par conséquent, la seule chose qui a du sens dans un tel cadre est une combinaison linéaire finie de vecteurs.
Si l'on veut avoir des "combinaisons linéaires infinies", il faut une structure plus riche que la seule structure algébrique et munir l'espace vectoriel $E$ d'une structure topologique en le munissant par exemple d'une norme. On peut alors dans ce cadre parler de "combinaisons linéaires infinies".

Bonne soirée

F.