Dualité et notations

Bonjour,

Je suis en train d'étudier la dualité et un point ne me semble pas clair au niveau des notations.
D'une part, pour un vecteur $v \in E$ où $E$ est un espace préhilbertien quelconque muni du produit scalaire $(.|.)$, le vecteur dual $v^*$ de $v$ est défini comme étant l'application $v^* : x \mapsto (v|x)$, de sorte que $(v|x) = \langle v^* , x\rangle$ où $\langle ., . \rangle$ sont les crochets de dualité.

Or, pour $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$, la base duale $(e_i^*)_{i\in I}$ associée à $(e_i)_{i\in I}$ est définie par :
\[\forall (i, j) \in I^2, \qquad e_i^*(e_j) = \delta_{i,j}.

\] Mais si $(e_i)_{i\in I}$ n'est pas orthonormée, on a a priori $(e_i| e_j) \neq \delta_{i, j}$ donc $(e_i| e_j) \neq \langle e_i^*, e_j\rangle$ ! J'en conclus que la base duale de $(e_i)_{i\in I}$ n'est pas composée des vecteurs duaux des $(e_i)_{i\in I}$ et je trouve ça extrêmement perturbant.

Est-ce que je me trombe dans le raisonnement où bien y a-t-il réellement un "conflit" de notation entre le * de la base duale et le * du vecteur dual ?

Merci d'avance pour votre réponse.