Matrice de symétrie orthogonale

totem · December 2020

Bonjour, dans mon bouquin il est noté : "la matrice est symétrique réelle et ses vecteurs colonnes forment une base orthonormale donc c'est la matrice d'une symétrie orthogonale."

Mais la matrice identité est de cette sorte et pourtant elle ne représente pas une symétrie orthogonale ?
Ou bien j'ai mal compris cette notion :-S

Poirot · December 2020

L'identité est la symétrie orthogonale par rapport à l'espace entier.

totem · December 2020

Je n'ai rien compris.

Poirot · December 2020

Alors relis la définition de la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace de $E$ euclidien.

PS : j'ai édité mon dernier message.

totem · December 2020

Ah oui. Mais pourquoi ne pas parler plutôt de rotation d'angle $\pi$ ou $2\pi$ pour l'identité...??

Poirot · December 2020

L'identité est une symétrie orthogonale, mais aussi un projecteur, et aussi une rotation (d'angle $2 \pi$, certainement pas $\pi$ !)...

totem · December 2020

Oui, je voulais dire qu'une symétrie orthogonale par rapport à une droite peut être vue comme une rotation d'angle $\pi$...mais pas une symétrie orthogonale par rapport à un plan je crois là :-S

totem · December 2020

Si je considère la matrice $$M=\frac{1}9\begin{pmatrix}1&8&-4\\8&1&4\\-4&4&7\end{pmatrix}$$ elle est symétrique et orthogonale.

Est-ce que j'ai le droit de dire que $Tr(M) = 1+ 2cos(\theta) = 1$ donc $\theta=\pi/2$ donc il s'agit d'une rotation d'angle $Pi/2$ ?

malavita · December 2020

Salut,

es tu sur que $det(M)=1$ ?

Sinon, $M$ symétrique signifie $M^T=M$ et $M$ orthogonale $M^{-1}=M^T$, si tu conjugues les deux propriétés tu en déduis que $M^2=I_n$ et donc que $M$ est la matrice d'une symétrie vectorielle.

A+

F.

totem · December 2020

Non le déterminant vaut $-1$ effectivement...donci lfaut déterminer les sous -espaces stables.

Matrice de symétrie orthogonale

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