Renseignements sur la catégorification

ignatus · December 2020

Bonjour,

je ne savais pas qu'il y avait un domaine mathématique spécialement dédié aux techniques de catégorification. Il me semblait naturel de passer par les catégories pour unifier de nombreux phénomènes, mais je ne pensais pas ce passage puisse lui-même faire l'objet d'une étude...
En fait, avec toute la promotion qui a été faite autour, je pensais que cette étude ne pouvait prendre que la forme de celle des topos.
C'est pourquoi je voudrais bien avoir des informations sur ce procédé, car il est d'ailleurs possible que je me fourvoie sur son objectif, puisqu'il semble surtout se préoccuper de la théorie des représentations, à moins que celle-ci soit bien plus fondamentale que je ne le croie...
Et donc, aussi savoir comment on pourrait situer la catégorification par rapport à l'utilisation des topos.

ignatus.

Lupulus · December 2020

"En fait, avec toute la promotion qui a été faite autour, je pensais que cette étude ne pouvait prendre que la forme de celle des topos."

Pas du tout. Comme tu l'as dit, c'est essentiellement développé pour la théorie des représentations. Le langage des topos est très peu utilisé en catégorification. Il y a une introduction très bien ici https://arxiv.org/pdf/1401.6037v1.pdf ou ici mais plus dur à mon avis https://arxiv.org/abs/1011.0144

Maxtimax · December 2020

(Lupulus : petit conseil/requête - quand tu mets un lien vers arXiv, je crois qu'il est préférable de mettre un lien vers l'abstract ;-) )

Après ça dépend de ce qu'on appelle "catégorification". Il y a un processus général, qui n'est pas (encore) formalisé et qui consiste à prouver des théorèmes de "bas niveau catégorique" en les voyant comme des ombres de théorèmes de "haut niveau catégorique", par exemple la bijection explicite évidente donne une catégorification du théorème d'arithmétique $n+m = m+n$ ou encore $p(n+m) = pn + pm$ - un exemple plus sophistiqué est le théorème du rang, et on peut encore monter en sophisitcation. C'est ça que moi je comprends en entendant "catégorification".

Après il y a aussi un objet d'étude plus précis, plus formalisé, qui lui est surtout étudié en théorie des représentations
(Les deux sont liés mais ce que je voulais dire c'est que le principe général de "catégorification" n'est pas propre à la théorie des représentations)
En tout cas, pas grand chose à voir avec les topoi

ignatus · December 2020

Merci pour les références Lupulus.

@Maxtimax : oui, tu explicites mieux ce dont je n'avais pas totalement pris conscience. Est-ce que les méthodes de catégorification utilisées en théorie de représentation ont une portée plus générale ? Est-ce que le processus, dont tu dis qu'il n'est pas formalisé, est formalisable avec ces méthodes ?
Bon, ce sont encore une fois des questions très générales qu'on ne peut examiner qu'après une "digestion" de ce qui est usuellement appelé catégorification.
Donc, je vais en rester là pour les questions.

J'ai crée ce fil parce que axexe semblait avoir "beaucoup" de choses à dire sur la catégorification. Donc, d'autres références, en plus du cours qui sera donné par Olivier Dudas, sont les bienvenues...

ignatus.

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