Éléments inversibles d'un anneau
Bonjour à tous. J'essaie de faire cet exercice mais je n'arrive pas à trouver une méthode pour trouver les éléments inversibles de A.
Quelqu'un aurait-il une astuce ?
Voici comment j'ai commencé à procéder.
Soit x = m/2^n.
X est inversible ssi il existe m' et n' tels que m/2^n * m'/2^n' = 1.
Cela équivaut à : m*m' = exp((n+n')ln2)
Du coup il faut que m soit du même signe que m' mais je ne sais pas quoi dire de plus !
Merci beaucoup.
Quelqu'un aurait-il une astuce ?
Voici comment j'ai commencé à procéder.
Soit x = m/2^n.
X est inversible ssi il existe m' et n' tels que m/2^n * m'/2^n' = 1.
Cela équivaut à : m*m' = exp((n+n')ln2)
Du coup il faut que m soit du même signe que m' mais je ne sais pas quoi dire de plus !
Merci beaucoup.
Réponses
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Inutile de passer par l’exponentielle.
m×m' est alors une puissance de 2.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour
Si un élément $x$ de $A$ est non nul, on peut le mettre sous la forme $x=m/2^n$ avec $m$ impair. En procédant de même avec $x'=m'/2^{n'}$, on a $xx'=1$ si et seulement si $mm'=2^{n+n'}.$ Je te laisse finir! -
Merci beaucoup! Oui, je vois bien pourquoi on peut écrire x et x' sous cette forme.
On sait que comme m et m' sont impairs, leur produit l'est aussi.
Et donc on ne peut pas écrire mm' sous la forme d'une puissance de 2.
Il n'y a pas d'éléments inversibles dans A si je ne me trompe pas! -
Tu te trompes lourdement, il y a une infinité d'éléments inversibles dans $A$.
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Il y a une infinité d'inversibles dans A en l’occurrence, comme dit par Poirot, mais de manière générale l'ensemble des inversibles d'un anneau n'est jamais vide !
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Je ne comprends pas, si on ne peut pas écrire m*m' sous la forme d'une puissance de 2, c'est qu'il n'y a aucun élément inversible non?
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Ben si, c’est juste que si tu choisis mal tes deux éléments… :-DAlgebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Du coup ce sont tous les éléments où m=1 ou -1?
mm' est une puissance de 2 si mm' = 1.
Comme m appartient à Z, il faut que m soit égal à 1 ou -1.
Du coup les éléments inversibles sont les éléments qui s'écrivent sous la forme de +/- 1/2^n! -
Tu n’es pas dans $\mathbb{Z}$ mais dans un autre anneau !Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Oui je sais justement, dans l'anneau A il est précisé que m appartient à Z!
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Et n, alors ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Les n on s'en fiche non? Tous les n marchent.
Les n appartiennent à Z -
J’ai l’impression qu’il y a un problème de quantificateurs.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Que penses-tu de l'élément 2 ? Appartient-il à A ? Si oui possède-t-il un inverse dans A ? Si non pourquoi ?
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@ Nicolas Patrois: Que voulez-vous dre?
@ Kazeriahm: 2 appartient à A car il est égal à 1/2^(-1).
Son inverse est 1/2. -
Tu te fatigues pour rien, $2$ est dans $A$ c'est $2 = \frac{2}{1}$. L'énoncé se comprend mieux si on restreint $n$ à appartenir à $\mathbb N$ au lieu de $\mathbb Z$ (ça ne change pas l'ensemble obtenu).
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Si $x=m/2^n$ avec des entiers $m,n \in \mathbb{Z}$, tu l'as dit plus haut si $x$ est inversible d'inverse $y=p/2^{q}$ alors
$$mp=2^n2^q.$$ Que peut-on dire concernant $m$ et $p$ ? -
Oui merci, mais je ne comprends pas pourquoi 2 n'est pas inversible (1/2 appartient bien à A)
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$2$ est inversible dans $A$, qu'est-ce qui te fait dire le contraire ?
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@ Poirot: j'avais l'impression que Kazeriahm sous-entendait que 2 n'était pas inversible!
@ Kazeriahm: Comme l'a dit Magnolia plus haut, m et p sont impairs. Donc leur produit est impair.
Leur produit ne peut donc pas s'écrire sous la forme d'une puissance de 2, sauf s'il est égal à 1 (2 puissance 0).
Dans ce cas, comme m et p sont des entiers relatifs, ils sont simultanément égaux à 1 ou -1! -
Ton anneau est constitué des éléments de $\mathbb{Q}$ dont le dénominateur est une puissance de 2 (c’est comme les décimaux mais avec 2 au lieu de 10). Dans les décimaux, 1 et -1 ne sont pas les seuls inversibles.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Oui mais 1 et -1 sont les seuls solutions de l'équation m*m ' = 2^(n+n') avec m et m' impairs.
Du coup ce sont les 2 puissance n (où n est un entier relatif) et les -2 puissance n.
Je ne comprends pas comment on peut trouver d'autres solutions.
(par exemple, 3/4 n'a pas s'inverse dans A puisque 4/3 = 1/3 * 2^2 et 1/3 n'est pas un entier relatif. Les seuls inversibles dans Z c'est -1 et 1 pour moi. ) -
Ben c'est déjà mieux ! Au début tu disais que ton anneau n'avait pas d'inversibles. Là tu en es à dire que les puissances de 2 sont inversibles, après être passé par l'étape seuls 1 et -1 sont inversibles, c'est assez différent.
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@ Kazeriahm: Oui effectivement c'est mieux! Du coup dois-je en conclure que ma conclusion, à savoir que seuls les 2 puissance n et les -2 puissance n (la puissance ne portant pas sur le "moins" mais uniquement sur le 2), est correcte?
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Qu'en penses-tu ?
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De mon côté je pense vraiment que c'est bon:-D
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Du coup je vais partir du principe que c'est bon !
La question 3 est facile ! En revanche pour en déduire que [large]I[/large] = l*A c'est une autre paire de manches. Avec la question précédente, on en déduit que l*Z appartient à [large]I[/large] mais que pouvons-nous dire de plus ? -
Ça veut dire quoi "I*Z appartient à I" ?
Si tu prends un élément de $I$, est-ce que tu ne pourrais pas, par hasard, le multiplier par quelque chose pour tomber sur un entier ? Que dire de cet entier d'après la question d'avant ? Il n'y a plus qu'à conclure. -
Merci beaucoup Poirot! J'ai pensé que l'on pouvait écrire que $l*Z$ appartient à $I$ car l'intersection de $I$ et de Z est égal à $l*Z$.
On peut le multiplier par son inverse pour obtenir un entier (ça donnera 1). D'après la question précédente, cet entier est positif?
Mais je ne vois pas en quoi cela nous avance... -
Qu'est-ce qui te dit que $l$ est inversible dans $A$ ?
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Je ne sais pas ! Je ne sais même pas comment on peut trouver un élément particulier dans I avec si peu d'information (à part 0 puisque I est un sous-groupe de A par l'addition).
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On reprend. Soit $I$ un idéal de $A$. D'après la question précédente, il existe un entier $l$ tel que $I \cap \mathbb Z = l \mathbb Z$. Soit $x \in I$. Trouve un entier $k$ tel que $kx \in \mathbb Z$. Puisque $kx \in I \cap \mathbb Z$, il existe un entier $j$ tel que $kx=lj$, puis déduis-en que $x \in l A$, ce qui te donne une inclusion. L'inclusion réciproque est facile.
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Merci beaucoup Poirot. Alors je n'ai pas réussi à trouver le $k$ en question mais il doit appartenir à $A$. Donc il s'écrit sous la forme $m/2^n$
Une fois qu'on a trouvé ce $k$, on en conclut en effet qu'il existe un entier $j$ tel que $kx = lj$, et donc que $x = lj/k$.
On sait que $lj/k$ appartient à $A$ si $m$ divise $lj$.
J'imagine que ça marche avec le $k$ qu'on a trouvé mais je n'arrive pas à le trouver...
Pour l'inclusion inverse, ce n'est pas si évident pour moi. On suppose $x \in l A$. Donc $x = lm/2^n$. Pour montrer que $x$ appartient à $I$, il faut montrer que quelque soit $y$ dans $A$, $xy$ appartient à $lA$? -
$I$ est un idéal et $l \in I$ donc $lA \subset I$ par définition d'un idéal.
Pour trouver $k$, regarde à quoi ressemble $x$... -
Ah oui bien sûr que c'est la définition d'un idéal! Excusez-moi....
Comme $x = m/2^n$, il faut que $k= 2^n$. Mais comment être sûr qu'un tel élément existe dans l'idéal particulier I? -
De quel élément parles-tu ?
-
En fait je parlais de l'élément $x$ qui doit appartenir à $I$. Mais j'ai bien compris maintenant!
Merci beaucoup pour votre aide et pour votre patience.
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Bonjour!
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