Somme calculable ?

bonjour michal

soit ton expression algébrique $A(n) = \Sigma_0^n\frac{n!}{k!(n-k)!}k^{n-k}$

il n'existe pas à ma connaissance de formule synthétique à cette somme mais comme le signifie jandri
elle intervient dans les dérivées successives de la fonction f définie par $f(x) = exp(xe^x)$ en effet : $f^{(n)}(0) = A(n)$

la démonstration se fait par le développement en série monômes-exponentielles
$f(x) = 1 + xe^x + \frac{x^2e^{2x}}{2!} + ..........+ \frac{x^pe^{px}}{p!} + .....$
et ensuite les développements polynomiaux de chaque exponentielle

ta suite A(n) exprimée sous forme de somme algébrique a des termes tous positifs et entiers naturels
la suite A(n) avec A(0) = 1 est croissante rapidement et son ordre de grandeur est $e^n$

on trouve successivement : A(1) = 1 ; A(2) = 3 ; A(3) = 10 ; A(4) = 41 ; A(5) = 196 ;
A(6) = 1057 ; A(7) = 6322 ; A(8) = 41393 ; A(9) = 293536 et A(10) = 2237921

et le développement polynomial de $f(x) = exp(xe^x)$ s'exprime avec des monômes pondérés des fractions $\frac{A(n)}{n!}$

ces fractions progressent jusqu'à n = 4 puis régressent et à partir de n = 9 elles sont inférieures à 1 tout en restant positives

la série diverge pour x égale à 2 et au delà et donc il s'agit bien d'un développement limité

pour x = 1 il vient le double développement : $e^e = 15,15426224...= \Sigma_0^{+oo}\frac{A(p)}{p!} = \Sigma_0^{+oo}\frac{e^p}{p!}$

cordialement