$X$ du polynôme caractéristique

Ce coefficient en $X$, appelons-le $q(A)$. $q$ est clairement un polynôme en les coefficients de $A$, tout comme $tr(com(A))$.

En particulier, pour démontrer $q(A) = tr(com(A))$ il suffit de le faire pour un ensemble dense de matrices $A$, par exemple les matrices diagonalisables.

Pour celle-ci, le coefficient $X$ est la somme des $(-1)^{n-1}$ fois le produit de toutes les valeurs propres sauf une, c'est-à-dire exactement $(-1)^{n-1}\sum_k \det(A_{kk})$.

Note : avec l'astuce usuelle des matrices génériques, ceci marche sur tout anneau commutatif, pas uniquement sur $\mathbb C$, même si la preuve ci-dessus marche pour $\mathbb C$

J'ai décrit cette preuve parce que j'ai la flemme de faire le calcul mais je soupçonne que le calcul explicite n'est pas trop compliqué, par exemple en utilisant $(XI_n-A)Com(XI_n-A) = \det(XI_n-A) I_n$ et en remarquant que sur la diagonale, $Com(XI_n-A)$ et $Com(A)$ se ressemblent

Ah Maxtimax a été plus rapide!

Foys: j'ai été plus rapide mais toi plus détaillé et plus généreux en explications ;-)

La méthode de Calli ne passe pas par cette astuce des matrices génériques car elle n'utilise que la densité des matrices inversibles, qui est vraie pour la topologie de Zariski n'importe où (selon ce qu'on appelle la topologie de Zariski)

C'est la topologie, sur $K^m$ disons pour commencer, dont les fermés sont les lieux d'annulation de polynômes. Ici $m=n^2$. C'est une topologie fondamentale pour la géométrie algébrique. Une particularité de cette topologie est qu'elle est loin d'être séparée en général : quand $K$ est infini, tout ouvert non vide est dense !

Si $K$ est fini, on peut toujours plonger dans une clôture algébrique.

Je ne pense pas que la topologie de Zariski soit très éclairante ici.

Ci-dessous, on met une brochure introductive à la géométrie algébrique avec foncteurs sur un anneau commutatif quelconque.
Les prérequis sont le langage de base des catégories et la propriété universelle des anneaux de polynômes.

Soit $A$ un anneau commutatif (qui jouera le rôle d'anneau des coefficients en quelque sorte).
Dans ce qui suit les foncteurs envisagés sont covariants.
On appelle ci-dessous "$A$-algèbre" un couple $(B,i_B)$ où $B$ est un anneau commutatif et $i_B:A\to B$ un morphisme d'anneaux; étant données deux $A$-algèbres $(B,i_B)$ et $(C,i_C)$, un morphisme de $A$-algèbres entre ces deux objets est un morphisme d'anneaux $f$ de $B$ dans $C$ tel que $i_C \circ f = i_B$.

On va dire dans ce post qu'une variété algébrique (sur l'anneau commutatif $A$) est en fait un (cas particulier de) foncteur covariant de la catégorie des $A$-algèbres dans celle des ensembles.

Un "morphisme de variétés algébriques" est une transformation naturelle entre deux tels foncteurs.

Soit $J$ un ensemble; $(C,\gamma)$ une $A$-algèbre et $t\in B^I$; on notera $eval_{J,\gamma,t}$ l' unique morphisme d'anneaux de l'anneau de polynômes $A[Y_j,j\in J]$ ($A$ étant assimilé à un sous-anneau de celui-ci) dans $B$ tel que $eval_{J,\gamma,t} (m) = \gamma(m)$ pour tout $m\in A$ et $eval_{J,\gamma,t}(Y_k)=t_k$ pour tout $k\in J$.
(Souvent on écrit $eval_{J,\gamma,t} (P) =: P(t)$ par abus de langage pour tout $P\in A[Y_j,j\in J]$).

Exemples de variétés.

1°) Soit $I$ un ensemble et $S$ une partie de $A[X_i, i \in I]$. Pour toute $A$-algèbre $(B,i_B)$ on pose $\mathfrak V_S(B):= \{u\in B^I \mid \forall f\in S,f(u)=0\}$ (ici, "$f(u)$" abrégeant bien sûr $eval_{I,i_B,u}(f)$). Etant donnés des $A$-algèbres $(B,i_B)$ et $(C,i_C)$ et un morphisme $\varphi$ de $(B,i_B)$ et $(C,i_C)$, $\varphi^I \left (\mathfrak V_S(B) \right ) \subseteq \mathfrak V_S(C)$ où $\varphi^I$ désigne $t\in B^I \mapsto \left( \varphi(t_i) \right)_{i\in I}$. On notera donc $\mathfrak V_S(\varphi)$ la restriction de $\varphi^I$ à $\mathfrak V_S(B)$.

$\mathfrak V_S$ est une variété algébrique au sens précédent, variété "des solutions du système d'équations $S$" (dans des $A$-algèbres qui varient).

Au vu de ça, il est plus généralement normal et intuitif d'appeler "points de $\mathfrak G$ à valeurs dans $B$" les éléments de $\mathfrak G(B)$ quand $\mathfrak G$ est un foncteur et $B$ une $A$-algèbre.

On peut vérifier immédiatement que pour toutes parties $S_1,S_2$ de $A[X_i,i\in I]$, $\mathfrak V_{S_1}(B)=\mathfrak V_{S_2}(B)$ pour toute $A$-algèbre $B$ si et seulement si $S_1$ et $S_2$ engendrent le même idéal de $A[X_i,i\in I]$ ce qui est quand même plus simple que le Nullstellensatz.

2°) Soient $B$ une $A$-algèbre et $u\in \mathfrak V_S(B)$, il existe par passage au quotient, un unique morphisme $\theta^{B,u}_S:A[X_i, i \in I]/\langle S \rangle \to B $ tel que pour tout $F\in A[X_i, i \in I]$, $\theta^{B,u}_S \left(F + \langle S \rangle\right) = eval_{I,i_B, u}(F)$ pour tout $F$.
Soit $\mathfrak F$ un autre foncteur. Soit $a\in \mathfrak F \left ( A[X_i, i \in I]/\langle S \rangle\right)$. Alors on obtient une transformation naturelle $\tilde T_a$ entre $\mathfrak V_S$ et $\mathfrak F$ en posant pour toute $A$-algèbre $C$ et tout $v\in \mathfrak V_S (C)$, $\tilde T_a (C) (v) := \mathfrak F \left ( \theta^{C,v}_S\right) (a)$.
Réciproquement, si $\tau$ et une transformation naturelle quelconque de $\mathfrak V_S$ dans $\mathfrak F$ alors en notant $b:= \tau_{A[X_i,i\in I]/\langle S \rangle} \left(\left ( X_i + \langle S \rangle\right )_{i \in I}\right)$, on voit que pour toute $A$-algèbre $B$ et tout $x \in \mathfrak V_S(B)$, $$\tau_B(x)=\tau_B \circ \theta^{B,x}_S \left( \left (X_i + \langle S \rangle \right )_{i\in I}\right) = \mathfrak F (\theta^{B,x}_S) \circ \tau_{A[X_i,i\in I]/\langle S \rangle}\left(\left ( X_i + \langle S \rangle\right )_{i \in I}\right) = \mathfrak F (\theta^{B,x}_S) (b) = \tilde T_b(C)(x)$$

Finalement on voit que toute transformation naturelle entre $\mathfrak V_S$ et $\mathfrak F$ est de la forme $\tilde T_b$ avec un $b$ unique (l'unicité provenant de ce que, en abrégeant ici $\xi:=\left ( X_i + \langle S \rangle\right )_{i \in I} $ et $D:=A[X_i,i \in I]/\langle S \rangle$, pour tout $c\in \mathfrak F(D)$, $\tilde T_c (D)(\xi) = \mathfrak F\left ( \theta^{D, \xi}_S\right ) (c)=\mathfrak F(id_D) (c) = c$)
On est devant un cas particulier du lemme de Yoneda dont on reparle plus bas.

3°) Soient $J$ un autre ensemble et $U\subseteq A[Y_j, j \in J]$. Soit $\tau: \mathfrak V_S \to \mathfrak V_U$ une transformation naurelle. Soit comme au 2°), $f:=(f_j)_{j\in J}\in \mathfrak V_U\left (A[X_i,i\in I]/\langle S \rangle \right )$ tel que $\tilde T_f = \tau$.Soit $(F_j,j\in J)\in A[X_i,i \in I]^J$ telle que pour tout $j\in J$, $F_j + \langle S \rangle = f_j$. Alors pour toute $A$-algèbre $(B,i_B)$ et tout $x\in \mathfrak V_S(B)$, $$\begin{align}\tau_B(x) = \mathfrak V_U (\theta^{B,x}_S) (f) & = \left (\theta^{B,x}_S (f_j) \right )_{j \in J} \\
& = \left (\theta^{B,x}_S (F_j + \langle S \rangle ) \right )_{j \in J} \\
& = \left (eval_{I,i_B, x} (F_j)\right )_{j \in J} \\
& =" \left ( F_j (x)\right )_{j \in J}"\end{align}$$

Donc en fait les fonctions coordonnées des applications $\tau_B$ sont polynomiales et les polynômes réalisant ces fonctions (les $j\mapsto F_j$) sont indépendants de $B$ et à coefficients dans $A$. Il est clair que réciproquement toute "famille" de fonctions (paramétrée par les $A$-algèbres) polynomiales dans ce sens est une transformation naturelle de $\mathfrak V_S$ dans $\mathfrak V_U$.



4°) revenons à Yoneda. Soit $(D,i_D)$ une $A$-algèbre. On note ici $V_D (B):= Hom_A (D,B)$ (morphismes de $A$-algèbres) pour toute $A$-algèbre $B$ et, si $\varphi: (B,i_B)\to (C,i_C)$ est un morphisme, $V_D(\varphi): f\mapsto \varphi \circ f$. $V_D$ est un foncteur de la catégorie des $A$-algèbres dans celle des ensembles.

Soit $\mathfrak F$ un autre foncteur des $A$-algèbres vers les ensembles. Soit $p\in \mathfrak F(D)$. Alors on définit une transformation naturelle $E \mapsto \left (T_p(B): V_D(B)\to \mathfrak F (B) \right)$ en posant pour toute $A$-algèbre $(C,i_C)$ et tout $\psi \in V_D(C)=Hom_A(D,C)$, $T_p(C)(\psi):= \mathfrak F (\psi) (p)$.

Alors pour toute transformation naturelle $\tau:V_D \to \mathfrak F$, il existe un unique $m_{\tau}\in \mathfrak F(D)$ (qui est en fait l'image de $id_D\in V_D(D)=hom_A(D,D)$ par $\tau_D$ tel que $\tau_E = T_{m_\tau} (E)$ i.e. $\tau_E(\alpha)=\mathfrak F (\alpha) (m_{\tau})$ pour toute $A$-algèbre $E$ et tout $\alpha \in V_D(E)$).

5°) Dans le cas particulier décrit au 1°) ci-dessus où $\mathfrak F = \mathfrak V_S$, notons $\langle S \rangle$ l'idéal de $A[X_i,i\in I]$ engendré par $S$, $D:=$ et $p:=(p_i)_{i \in I}$ les images des $X_i$ par la projection canonique $A[X_i, i \in I] \to A[X_i, i \in I] /\langle S\rangle = D$. Alors évidemment $p \in \mathfrak V_S (D)$.
Il s'avère qu'avec ces notations, la transformation naturelle $T_p: V_D \to \mathfrak V_S$ définie plus haut est dans ce cas un isomorphisme naturel. La transformation naturelle réciproque étant donnée par $\tilde T_{id_D}$ défini au 2°).

Comme toute $A$-algèbre $B$ est isomorphe à un quotient d'anneaux de polynômes sur $A$ (on a un morphisme surjectif évident de $A[X_b,b \in B]$ vers $B$) on en conclut que les foncteurs décrits en 1°) et en 4°) sont en fait les mêmes.

On appellera "variétés algébriques affines" les foncteurs naturellement isomorphes à des $V_D$ (ou des $\mathfrak V_S$).


6°) Etant donné $n\in \N$ on a $GL_{n,A}$ qui à la $A$-algèbre $(B,i_B)$ fait correspondre l'ensemble des matrices $M$ de $M_n(B)$ dont le déterminant est inversible et qui à $f:(B,i_B)\to (C,i_C)$ morphisme de $A$-algèbre associe l'application $\left(m_{i,j} \right)_{1\leq i,j \leq n} \mapsto \left(f(m_{i,j}) \right)_{1\leq i,j \leq n} $).

Il s'avère que ce foncteur est une variété algébrique affine. En effet (exo) il est naturellement isomorphe à $V_R$ où $R:= A[Y,X_{i,j}, 1\leq i,j \leq n]/\langle 1-Y \cdot det \left ( X_{i,j}, 1\leq i,j \leq n\right ) \rangle$.

Quand $A=\Z$, on note $Gl_n$ au lieu de $GL_{n,A}$

7°) Toute l'idée de la résolution de l'exo ci-dessus par densité est que si $A$ est un sous-anneau de $\C$, si $I$ est un ensemble fini, et si $\mathfrak V_S(\C)$ est dense dans $\C^I$ pour la topologie usuelle, alors $\mathfrak V_S (\C) = \C^I$ (c'est un fermé) et ensuite $S=\{0\}$ et donc $\mathfrak V_S(B)=B^I$ pour toute $A$-algèbre $B$. En l'espèce $I$ est de la forme $\{1,...,n\}\times \{1,...,n\}$ car on travaille avec des matrices de taille $n$.

8°) Deux mots sur les schémas. Fixons $A$. Grothendieck a introduit une catégorie (dite des schémas sur $A$) qui contient à équivalence près l'opposée de la catégorie des $A$-algèbres comme sous-catégorie pleine. La construction est très technique et se trouve dans des livres comme celui de Hartshorne ou encore EGA. On a donc un foncteur pleinement fidèle contravariant $B\mapsto spec(B)$. La bonne nouvelle est que étant donné deux tels schémas $P,Q$ sur $A$, si on note pour toute $A$-algèbre $B$, $\hat P(B):= Hom_{sch(A)}(spec(B),P)$ et $\hat Q(B):= Hom_{sch(A)}(spec(B),Q)$, alors pour toute transformation naturelle $\tau$ entre $\hat P$ et $\hat Q$, il existe un unique morphisme $\theta$ entre $P$ et $Q$ tel que $\theta \circ f= \tau_B(f)$ pour tout $f\in Hom_{sch(A)}(spec(B),P)$ et donc ces schémas peuvent être vus comme un cas particulier de ce qui est dit ci-dessus.
Un $A$-schéma affine est par exemple un $spec (B)$ où $B$ est une $A$-algèbre, conformément à ce qui précède.

Il y a une caractérisation des schémas parmi foncteurs des $A$-algèbres dans les ensembles, comme faisceaux sur un site particulier mais j'ai oublié, ça se trouve par exemple dans ce livre https://www.springer.com/gp/book/9780387986388

[size=x-small]Ce texte est très avare en diagrammes. L'auteur ne sait plus comment les faire et n'a pas vraiment envie de regarder la doc et -mais c'est son impression personnelle- il ne les trouve pas forcément plus lisibles.[/size]

Foys : je ne suis pas sûr de l'intérêt de ce pavé, mais j'ai mentionné la topologie de Zariski pour la preuve "à la Calli", pas pour la tienne/mienne : en particulier ce sont des preuves différentes.

Tu remarqueras en effet que quand la nôtre se ramène au cas de $\C$ par l'astuce des matrices génériques (que tu expliques dans ton 7), ce n'est pas le cas de (la version Zariski de) la preuve de Calli. Cette dernière utilise bien la topologie de Zariski. En effet il n'est pas aisé de formuler l'énoncé "$GL_n$ est dense dans $M_n$" sans celle-ci (on peut le formuler dans le langage des foncteurs évidemment, mais pas sans mention de Zariski, puisqu'en tant que foncteurs, $GL_n\to M_n$ n'est pas "dense", il faut une notion de faisceaux pour que ça devienne le cas)

Donc je maintiens que selon la preuve, il y a un intérêt à Zariski

$\def\Tr{\text{Tr}}\def\I{\text{I}}\def\vep{\varepsilon}$Topopot. Comme tu as pas mal de choses à lire, je me permets d'en ajouter au panier. Mais ici, c'est moins savant car cela culmine à la formule dite de Cramer. Pour des matrices $A,B$ carrées $n \times n$, je note (comme toi) $C_A = \det(X\I_n - A)$ le polynôme caractéristique et (pas comme toi) $\widetilde B$ la matrice cotransposée de $B$. Cela se passe sur un anneau commutatif quelconque

$\bullet$ Mon ajout au panier concerne la dérivée du polynôme caractéristique :
$$
C'_A(X) = \Tr\big( \widetilde {X\I_n - A}\big) \qquad \text{ou encore, pour des raisons typographiques} \qquad
C'_A(X) = \Tr(\widetilde \quad \text{avec}\quad B = X\I_n - A \qquad (\star)
$$En évaluant en $X= 0$, on obtient $C'_A(0) = \Tr\big( \widetilde{(-A)} \big) = (-1)^{n-1} \Tr( \widetilde A)$. Et $C'_A(0)$, c'est le coefficient en $X$ de $C_A$ que tu convoites.

$\bullet$ Pour prouver $(\star)$, on peut faire un ``peu de calcul différentiel'' du type
$$
C_A(X + \vep) - C_A(X) = \vep\, \Tr\big( \widetilde {X\I-A}\big) + \text{ des termes en } \vep^2
$$Mieux : pour des matrices carrées $M,H$ de même format :
$$
\det(M + \vep H) = \det(M) + \vep\, \Tr(\widetilde M\, H) + \text{ des termes en } \vep^2 \qquad \qquad (\heartsuit)
$$Et $(\heartsuit)$, c'est (pour moi) essentiellement Cramer.

Bonjour,

Faisons encore moins savant. J'ai pu remarquer dans un autre fil que Topopot avait quelques difficultés avec la multilinéarité du déterminant. Je pense qu'il serait bon qu'il réalise que le coefficient de $X$ dans $\det(XE_1-A_1,XE_2-A_2,\ldots,XE_n-A_n)$ est égal à la $(-1)^{n-1}$ fois la trace de la comatrice de $A$ pour la même raison que le coefficient de $X$ dans $(X-a_1)(X-a_2)\cdots(X-a_n)$ est $(-1)^{n-1}$ fois le $n-1$-ème polynôme symétrique en les $a_i$, qui est la somme des produits $n-1$ à $n-1$ des $a_i$.

PS. Faut-il rappeler que le cofacteur d'indice $(i,i)$ est $\det(A_1,\ldots,A_{i-1},E_i,A_{i+1},\ldots,A_n)$ ?