Un théorème de Hurwitz

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonjour,

Je suis dans le cas où $n=2$.

J'ai quelques difficultés à comprendre la méthode du corrigé. En fait, je sais démontrer la question d'une autre façon pour $n=2$ en posant directement :

$B_2 ((x,y),(x',y'))=(xx'-yy',xy'+x'y)$ qui est bilinéaire (je l'ai vérifié au brouillon).

Mais la méthode du corrigé utilise des composées d'applications et des réciproques. Comme j'ai souvent du mal avec ça, je pense que ça serait formateur si j'arrive à comprendre la méthode.

J'ai pourtant déterminer $\phi ^{-1} : \C \longrightarrow \R^2 \\ \ \ \ \ \ \ z \mapsto (Re(z),Im(z))$114774
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Réponses

  • noobey
    noobey
    Mouais faut-il aller jusque là... le corrigé en fait trop d'après moi.
  • OShine
    OShine
    Je crois que le corrigé utilise cette méthode car sinon après pour $n=4$ et $n=8$, les calculs sont horribles.
    Ca permet de simplifier grandement les calculs.

    Mais quand je calcule je trouve que ça donne un résultat étrange $B_2(x,y)= \phi ^{-1} \circ B_c (X+iY)$

    C'est quoi le produit complexe de $X+iY$ ?

    Pourquoi le $\phi ^{-1}$ disparait dans la norme ?

    Ma méthode pour $n=2$ :

    $(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1 x_2 - y_1 y_2 + i(y_1 x_2+y_2 x_1)$

    On pose $B_2 : ((x_1,y_1) , (x_2,y_2) \longrightarrow (x_1 x_2 - y_1 y_2 ,y_1 x_2+y_2 x_1)$ qui est bilinéaire.

    Or $||B_2 (X,Y)||^2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2+(y_1 x_2+y_2 x_1)^2=| (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) |^2 = (x_1 ^2+ y_1 ^2)(x_2 ^2+y_2 ^2)=||X||^2 ||Y||^2$
  • bisam
    bisam
    En fait, Oshine, tu n'as rien compris aux définitions données... mais tu n'y es peut-être pour rien car le corrigé est faux lui aussi !
    $X$ et $Y$ sont deux vecteurs de $\R^2$. Par conséquent, $X+iY$ n'a pas de sens.

    $B_c\circ \phi$ ne peut pas exister puisque $\phi$ est à valeurs dans $\C$ alors que l'ensemble de départ de $B_c$ est $\C^2$.

    Il aurait fallu définir $\phi_2:\R^2\times \R^2\rightarrow \C^2$ par $\forall (X,Y)\in \R^2\times \R^2, \phi_2(X,Y)=(\phi(X),\phi(Y))$ puis $B_2=\phi^{-1}\circ B_c \circ \phi_2$.
  • OShine
    OShine
    Merci, je me disais bien qu'il y avait un souci quelque part.

    Du coup, @Noobey a raison c'est trop de notations pour rien alors que la question est relativement simple.

    J'ai réussi en faisant une résolution directe pour $n=4$ et $n=8$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Bonjour.
    Serait-il possible de connaître l'origine de ce problème ?
    Merci.
  • Chaurien
    Chaurien
    Bon, on ne saura jamais d'où vient ce problème :-(.
  • christophe c
    christophe c
    OShine: comment définis-tu $\C$? Je te demande ça car pour beaucoup de gens $\Phi = $ identité, autrement dit, $\C=\R^2$ et le produit de nombres complexes est directement défini par $((a,b),(a',b'))\mapsto (aa'-bb', ab'+a'b)$

    Ensuite si tu veux prendre du plaisir sur ce genre d'exo, je te conseille de bien lire l'annonce puis de fermer le livre et d'avoir en tête l'exo durant par exemple une semaine.

    C'est idiot de faire ce genre d'exo "à la chaine". L'annonce contient un questionnement philosophique qu'il faut laisser cuire à feu doux. Par exemple, tu peux passer à autre chose, et de temps à autre quand tu t'ennuies, revenir sur le cas $n:=3$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    @chaurien: je pense qu'en googlant "théorème de Hurwitz" (je ne l'ai pas fait), tu pourrais trouver des trucs, non? Après tout dépend ce que tu cherches exactement (la thématique général ou des détails précis sur la rédaction des auteurs du (extrait de) livre affiché par OShine)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    @Chaurien Il s'agit d'un sujet de concours : Centrale 2014 PC.
  • Chaurien
    Chaurien
    En fait j'ai grand tort de demander, alors qu'on peut trouver facilement ce bel énoncé de Centrale PC Math 2 2014. Ce qui est marrant c'est qu'il débute par la phrase : « Dans ce problème, on s’intéresse aux sommes de carrés d’éléments dans un anneau commutatif », alors que, sauf erreur, le concept d'anneau n'est pas au programme en PC.
    Mais enfin, les questionneurs pourraient fournir les énoncés complets, ce serait plus agréable.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • christophe c
    christophe c
    Pour les passant, je signale que c'est une partie de l'incroyablement significatif (sur le plan philosophique) théorème de (ah mince, pas sûr que la référence soit bonne) Gelfand-Mazur qui dit que tout corps normable contenant $\R$ ne peut qu'être un des 3 suivants:

    $$ \mathbb{R}; \mathbb{C}; \mathbb{H}$$

    Il suit que le "corps des grandeurs du monde" n'est pas normable, sauf si $card(\{masse;temps;distance\})\leq 2$ ou s'il n'est pas commutatif

    J'en donne la (résumé de)-preuve qui est un véritable sccop sur l'holomorphisme, wlog, on suppose que $\C\subset K:$

    soit $a\in K$. La fonction $z\in \C\mapsto norme(inverseDe(a-z)) \in \R$, holomorphe analytique, étant bornée, elle est constante. Contradiction ou $\exists z\in \C: a=z$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    @CC : le théorème dont tu parles est le théorème... d'Hurwitz :-D
  • christophe c
    christophe c
    Ah mince, j'ai pourtant jeté un oeil à wikipedia et il parlait bien de Gelfand Mazur (enfin j'ai tapé Gelfand Mazur dans google et la page wiki renvoyée disait à peu près ça). Je ne suis pas allé plus loin.

    MERCI !!!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon, en fait on va dire qu'on a tous les 2 raisons. Mais comme c'est évident** en dimension finie (sous hypothèse de commutativité), je ne suis marqué que par Gelfand Mazur.

    Hurwitz garde l'hypothèse de dim finie, mais retire la commutativité.

    ** preuve en dim finie : la famille de vecteurs $n\mapsto a^n$ ne pouvant être libre, $a$ est un complexe.

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Frobenius_généralisé#Fragments_d'histoire
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • side
    side
    supp
  • Chaurien
    Chaurien
    De quelle formule parles-tu, side ? Est-ce la formule qui montre que le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés ?
  • side
    side
    supp
  • side
    side
    supp
  • OShine
    OShine
    @Chaurien

    Désolé mais je ne veux pas surcharger les questions en mettant tout le sujet à chaque fois.

    Je trouve ce sujet très très très calculatoire. Même moi qui aime les calculs, ça m'a fatigué tous ces calculs avec les quaternions.
    Le sujet alterne entre des questions simples et quelques questions vraiment difficiles.

    @Christophe
    Ma définition de $\C$ est la suivante :114978
  • Amathoué
    Amathoué
    Je ne suis pas un spécialiste de la théorie des ensembles mais je n’aime pas trop lire « il existe un ensemble $\C$ contenant $\R$ ». Pour une « construction », justement, on peut mieux dire à défaut de pouvoir faire mieux. On construit $\C$ en plongeant $\R$ dans un ensemble de sorte que $\R$ s’identifie à son plongé dans cet ensemble $\C$.
    C’est bien le plongé qui est alors inclus dans $\C$. « L’inclusion » de $\R$ dans $\C$ n’est pas, à proprement parler, ensembliste.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ side
    Pour moi cette propriété des quatre carrés était connue comme identité de Lagrange, à distinguer de la propriété analogue pour deux carrés, due à Fibonacci. Et le théorème des quatre carrés était de Lagrange. J'ignorais qu'Euler était mêlé à cette histoire, mais rien ne saurait nous étonner de sa part. Une recherche dans les livres et sur le Net m'a montré que comme toujours l'histoire est un peu plus compliquée, et j'ai trouvé l'article ci-joint. Diophante, Bachet, Fermat, Euler, Lagrange, c'est bien la science européenne en action, et pour une fois les préhistoires exotiques fantasmées nous sont épargnées.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    St Roger 2020
  • Paul Broussous
    Paul Broussous
    @lbni

    Il y a une seule façon de plonger $\R$ comme sous-corps de $\C$, donc il n'est pas déraisonnable de voir $\R$ comme sous-corps de $\C$ bien défini. De même $\R$ avec son cahier des charges habituel est unique à unique isomorphisme près, donc il n'est pas déraisonnable de parler "du" corps des nombres réels.

    Par contre si on veut une théorie des ensembles typée, où on veut un "type réel", un "type complexe", etc., il est utile de faire la différence. Par exemple dans le langage Ocaml, "sqrt 4" renvoie une erreur car "4" est de type "entier" et "sqrt" de type "flottant --> flottant".
  • Amathoué
    Amathoué
    D'accord Paul, merci beaucoup (tu)
  • Chaurien
    Chaurien
    Le temps que vous perdez à couper les cheveux en quatre au sujet de l'« existence » des nombres complexes, passez-le plutôt à travailler avec, vous verrez, c'est plus gratifiant.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    [small]The proof of the pudding is in the eating.[/small]
  • side
    side
    supp
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonjour,

    Voici un lien dans lequel l'on trouvera notamment une construction du corps $\C$, construction que j'affectionne beaucoup.

    @OS : le contenu de ce livre te servira pour les fondamentaux qui te manquent.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Chaurien
    Chaurien
    Où cours-je ?
    Dans quel état j'erre ?
    (:D
  • OShine
    OShine
    @Thierry
    Merci, ce cours est de très bon niveau pour une terminale ::o
  • Poirot
    Poirot
    Ça devrait être le niveau attendu d'une Terminale Scientifique digne de ce nom, mais malheureusement ce n'est plus le cas depuis des années.
  • OShine
    OShine
    Oui c'est vrai. Ça préparerait beaucoup mieux les étudiants au supérieur en plus.
  • christophe c
    christophe c
    @side: considère que tout est ensemble ça t'évitera des problèmes. Ensemble veut juste dire "truc tel que quoiqu'on mette après, le tout forme une phrase". Autrement dit, ça veut dire verbe (mais en maths tout sujet est un verbe)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    mais je n’aime pas trop lire « il existe un ensemble $\C$ contenant \R$ »

    c'est juste vrai et pas dur. Il te suffit de remplacer $(x,0)$ par $x$, mais de garder $(x,y)$ quand $y\neq 0$.

    Par contre la formulation "on admettra que" est désastreuse. Le fait de remarquer que l'opération blabla fait de $\R^2$ un corps qui blabla et de mettre une remarque triviale qu'elle a été inspirée par tel calcul semble tout de même plus honnête.

    Pour les plus cultivés en géométrie le fait de remarquer que le composées de rotations homothéties (vectorielles) idem.

    Bon après, comme de toute façon les gens sont familiers de $\C$ avant les notions de bases d'espaces vectoriels, ce serait stéril de dire que deux vecteurs de même norme sont $\perp$ ssi l'un valant (x,y) l'autre vaut (-y,x) ou (y,-x) et de faire un délire sur les angles droits et tout et tout, parce que pour que ça marche faut la conscience qu'une application linéaire est fixée par l'image d'une base (ce qui fait que les rotations ont les matrices : colonne1: (x,y); colonne2(-y,x) etc blabla)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Blueberry
    Blueberry
    Sur la construction de $\mathbb C$ avec des matrices je la trouve inintéressante pour des élèves de terminale. A te dégoûter des complexes. Je préfère le "il existe un ensemble contenant $\mathbb R$ dans lequel existe une addition et une multiplication" etc. C'est bien plus naturel et ça permet de commencer vite des calculs et découvrir le plaisir de calculer et résoudre des équations avec les complexes.
  • side
    side
    supp
  • Poirot
    Poirot
    @side : peut-être cherches-tu le "paradoxe de Burali-Forti" ? Qui se résout en observant que ça veut simplement dire que la collection des ordinaux n'est pas un ensemble. Les surréels contiennent tous les ordinaux, donc en particulier, ils ne peuvent former un ensemble.
  • side
    side
    supp
  • christophe c
    christophe c
    En fait, tout ceci n'a pas d'importance dans les maths usuelles, vu qu'on travalile avec des objets minuscules, mais tu te fais des idées complètement fausses de comment tout cice se fonde et fonctionne. Par exemple, la bêtise de parler (ce n'est pas de ta faute) des surréels comme c'est fait usuellement provient exactement de la même bêtise qui laisse parfois croire aux catégoriciens qu'il n'y a pas que des petites catégories.

    Ces détails se règlent "en un clic" en se plaçant dans un ensemble inaccessible où on fait tout, et tous ces machins sont de banals ensembles.

    Après effectivement, par exemple pour les surréels, il faut un peu étudier les ordinaux (les histoires de cofinalités, etc), mais c'est surtout pour défaire des préjugés-réflexes, pas pour "contourner" je ne saurais quelle difficulté de voir ça comme des ensembles.

    Si ça t'intéresse, je peux détailler un peu plus
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    Quand j'étais ado, dans un manuel de calculatrice j'ai vu une page qui affirmait aux tournures de phrases près:
    "-un nombre complexe est un couple de nombre réels;
    -si $(a,b) et (c,d)$ sont complexes, on définit $(a,b)+(c,d):= (a+c, b+d), (a,b)\times (c,d)=(ac - bd, ad+bc)$ et lorsque $c,d$ ne sont pas tous les deux nuls, $\frac{(a,b)}{(c,d)}:= \frac{ac+bd, ad - bc}{c^2+d^2}$
    -$\mathbf i$ abrège $(0,1)$;
    On appelle conjugué de $(a,b)$ le nombre complexe $(a,-b)$"

    Voilà, voilà, 5 lignes maximum pour une définition non pipeau qui ne m'a jamais quittée - à comparer avec les dizaines de pages de fausse philo ontologico-vague que l'on sert aux enfants pour leur épargner la vue du moindre formalisme ou pour faire apparaître un prétendu "cheminement historique"(au nom de quoi? Comment sait-on vraiment ce qui est passé par la tête de Viète ou Scipione del Ferro du reste?).

    Je me demande si ce marronnier n'est pas le pire du forum parfois, et pourtant la concurrence est rude: "qu'est-ce qu'une fonction", "$0^0$ n'a pas de sens" etc.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Amathoué
    Amathoué
    Foys, elle est sympa cette vision puisqu'elle rejoint un peu la définition du collège* au sens où la division comme multiplication par l'inverse est une propriété et non une définition. Tandis que l'usage des autres constructions théoriques est de définir $\frac{(a,b)}{(c,d)}=(a,b)\times (c,d)^{-1}$ pour les couples $(c,d)$ non nuls, puisque l'inverse et la multiplication sont entièrement définis par les opérations de corps.
    *En mieux, puisqu'on n'a jamais vraiment rien défini au collège, mais ça c'est une autre histoire.
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