Décomposition en éléments simples

J’ai remarqué qu’au dénominateur on a « $1+7$ » et « $-3-5$ ».
Je ne sais pas si ça sert...

Bonjour..

Le problème n'est plus la décomposition, mais la factorisation du polynôme, qui n'est pas toujours possible.

Cordialement

Je crois que la question était plutôt :
Sans factorisation, peut-on décomposer en éléments simples ?

Sauf erreur de ma part.

On enseignait il y a encore quelques années en Terminale que l’équation $f(x)=0$ où $f$ est une fonction polynôme de degré 3 admet 3 racines réelles distinctes si et seulement si $f$ admet un maximum local et un minimum local de signes contraires.

Tiens, c’est vrai ça. Je n’ai pas fait attention à ce détail :-).

Dom a écrit:

les polynômes du second degré à discriminant strictement positifs

Sûr, sûr ?

amicalement,

e.v.

bonsoir

tu as intérêt à commencer par une décomposition sur l'ensemble des réels :

ton dénominateur admet une racine évidente z = 1 d'où les deux facteurs : z² - 3z + 7z - 5 = (z - 1)(z² - 2z + 5)

et donc les valeurs interdites de ta fraction sont z = 1, z = 1 + 2i et z = 1 - 2i

ta décomposition avec coefficients réels est de la forme :

$\frac{2z^2 - 5z + 11}{z^3 - 3z^2 + 7z - 5} = \frac{A}{z - 1} + \frac{Bz + C}{z^2 - 2z + 5}$ avec A, B et C paramètres réels

tu opères une identification entre les numérateurs des deux membres de l'équation, il vient : A + B = 2 ; 2A + B = 5 et enfin 5A - C = 11

soient A = 3, B = - 1 et C = 4 et donc la décomposition est : $\frac{3}{z - 1} + \frac{-z +4}{z^2 - 2z + 5}$

tu t'occupes de la seconde fraction soit : $\frac{-z +4}{z^2 - 2z + 5} = \frac{A}{z - 1 - 2i} + \frac{B}{z - 1 + 2i}$ avec A et B complexes

tu procèdes là aussi par identification : il vient A + B = -1 et A - B = 3 d'où A =1 et B = -2 et finalement :

$$F(z) = \frac{3}{z - 1} + \frac{1}{z - 1 - 2i} - \frac{2}{z - 1 + 2i}$$

cordialement

Tiens, j'aurais cru que A et B seraient conjugués.

Comme quoi.

e.v.