Sous-espace et codimension

Code_Name · December 2020

Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriel. On dit que $G\subset E$ est un sous-espace vectoriel de codim $1$ si $\dim (E/G)=1$.
Cette notion est très floue pour moi. Cependant un peu plus loin dans mon cours j'ai une proposition qui dit entre autres que pour $f:E\to \mathbb R$ une forme linéaire non nulle, on a que $K(f):=\ker(f)$ est un sous-espace vectoriel de codim $1$: $E=K(f)+x_0\mathbb F\;\;\forall x_0\in E\setminus K(f)$.

Donc par mon intuition, je dirais que la dimension $1$ provient du fait que normalement, l'écriture $E/K(f)$ veut dire que $E$ est partitionné ainsi: $\{x\:K(f):x\in E \}$ mais dans notre cas, on a qu'il suffit de choisir un $x_0\in E$ quelconque pour obtenir la partition plus simple: $\{\lambda x_0\:K(f):\lambda\in \mathbb F \}$, mais je n'arrive pas exactement à faire le lien avec le fait que $\dim (E/K(f))=1$. Merci pour votre aide.

Magnolia · December 2020

Bonjour

Soit $G$ un sous-espace de l'espace vectoriel $E$.
Les propositions suivantes sont équivalentes:
(i) $\dim(E/G)=1$
(ii) Il existe un sous-espace $H$ de dimension 1 tel que $E=G \oplus H.$

Essaye de le démontrer. Ton exo a l'air plus compliqué à cause de l'apparition de $f$ et de son noyau.

Code_Name · December 2020

(i)$\implies$ (ii): On a que $\dim(E/G)=1$ donc $E/G$ a une base, notons $\{[p]\}$ pour $p\in E$.

Donc on a que $\forall [x]\in E/G,\ [x]=[\lambda p]$ pour un $\lambda \in \mathbb F\ \iff x-\lambda p\in G$.

Soit l'espace $H:=\{\lambda p\mid\lambda \in \mathbb F\}$. On a que $H$ est de $\dim = 1$.

C-à-d $\forall x\in E,\ \exists \lambda \in \mathbb F,\ g\in G$ tel que $x=\lambda p+g$ d'où $E=G+H$ (mais l'intersection ne me semble pas vide...).

(ii)$\implies$ (i): Si $E=G\oplus H$ avec $\dim H=1$ on a que $H=\{\lambda p\mid \lambda \in \mathbb F\}$ pour un $p\in E$.

Donc on a que $\forall x\in E,\ x=g+\lambda p$ pour $g\in G,\ \lambda \in \mathbb F$.

Ce qui implique que $[x]=[\lambda p]=\lambda [p]$ pour tout $[x]\in E/G$ d'où $\dim(E/G)=1$.

Magnolia · December 2020

C'est bien.
Dans (i) entraine (ii), l'intersection est bien vide. Si $\lambda p\in G$ et si $\lambda \neq 0$, comme on est dans un corps, on a $p=\lambda^{-1}\lambda p$ et alors $p\in G$, ce qui est exclu.

Code_Name · December 2020

Oui je vois, vous vouliez sans doute écrire $g=\lambda^{-1}\lambda p$, merci en tout cas :-)

Code_Name · December 2020

Bonsoir Magnolia. J'ai l'impression d'avoir découvert une autre propriété: $\dim(E/G)=1 \iff G$ est un sous-espace vectoriel tel que $G\neq E$ et il n'est contenu dans aucun autre sous-espace vectoriel. Est-ce vrai?

Poirot · December 2020

Oui c'est correct. De manière générale, les sous-espaces de $E/G$ correspondent bijectivement aux sous-espaces de $E$ contenant $G$. Comme il n'y a que deux sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel de dimension $1$, on trouve bien ce que tu affirmes.

Maxtimax · December 2020

Soit $E$ un espace vectoriel. $G \mapsto E/G$ établit une bijection entre sous-espaces de $E$ et quotients de $E$

On a toujours $E \cong G \oplus E/G$, en d'autres termes $E/G$ est isomorphe à un (et à tout) supplémentaire de $E$ dans $G$.

Il est donc de dimension $1$ si et seulement si $G$ est un hyperplan si et seulement si $G$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle si et seulement si $G$ est maximal.

Je me permets une remarque d'intuition : l'écriture $x+G$ pour un élément du quotient $E/G$, c'est pas génial, ça fait s'embrouiller (est-ce qu'on le voit comme élément de $E/G$ ou partie de $E$ etc.) un peu, et ça enlève l'intuition de qui est $E/G$. Ce n'est pas "vraiment" un ensemble de classes d'équivalence blablabla , c'est plutôt un espace vectoriel, dont la seule chose que tu sais c'est que chacun de ses éléments provient d'un élément de $E$, et tel que chaque élément qui provient de $G$ est nul.
C'est "le meilleur" espace vectoriel où tu es parti de $E$ et as décrété $G=0$ (le voir comme un décret ça aide beaucoup; de même que le voir dynamiquement "on part de $E$, on tue $G$, on fait ci on fait ça et voilà")

Code_Name · December 2020

Merci pour vos réponses.

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