Groupe de Galois de polynômes réductibles

Bonjour
Si un polynôme de degré 3 est réductible, soit il a une seule racine rationnelle ( si on travaille sur $\Q$ ) donc son groupe de Galois est celui d'un polynôme de degré 2 irréductible , soit toutes ses racines sont rationnelles et ...

Si un polynôme de degré 4 est réductible
soit il a une seule racine rationnelle et on est ramené à un polynôme de degré 3 irréductible
Soit il a seulement deux racines rationnelles et on est ramené à un degré 2 irréductible
soit toutes ses racines sont rationnelles et .....
soit c'est le produit de deux seconds degrés irréductibles : là il y a plus de travail
on précise le corps de décomposition en faisant intervenir les deux discriminants des deux seconds degrés

on cherche le degré de l'extension c'est 2 ou 4 selon que le produit des deux discriminants est un carré ou pas
Si c'est 2 pas de problème ;
pour 4 , il faut aller plus loin car il y a deux sortes de groupes d'ordre 4 à isomorphisme près ; en fait on peut voir que c'est Klein en explicitant les 4 éléments du groupe de Galois à partir d'une $\Q$ base du corps de décomposition
On peut alors vérifier qu'il n' est pas transitif , aucun élément du groupe de Galois envoyant une racine d'un facteur sur une racine de l'autre facteur,

Je détaille ce que donne la méthode que je propose sur $\mathfrak S_3$. $\def\card{\mathop{\rm card}}$
Soit $G$ un sous-groupe non transitif de $\mathfrak S_3$. Alors il existe une partition $\{1,2,3\}=I\sqcup J$ avec $I$, $J$ disjoints et non vides telle que $G\subset\mathfrak S(I)\times\mathfrak S(J)$. C'est-à-dire que tout élément de $G$ s'écrit comme le produit d'une permutation à support dans $I$ et d'une permutation à support dans $J$. Alors $ \card I=1$ et $\card J=2$ ou bien le contraire. Sans nuire à la généralité, on peut supposer qu'on est dans le premier cas. Alors $\mathfrak S(I)\cong \mathfrak S_1 \cong \{e\}$ et $\mathfrak S(J)\cong \mathfrak S_2 \cong \Bbb Z/2\Bbb Z$. Donc $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $\{e\}\times (\Bbb Z/2\Bbb Z)\cong\Bbb Z/2\Bbb Z$. Donc $G\cong \{e\}$ ou $G\cong \Bbb Z/2\Bbb Z$.
Ensuite, il faut vérifier si tous ces isomorphismes sont effectivement réalisés par les groupes de Galois de certains polynômes. Et on peut regarder dans quels cas chaque isomorphisme arrive.

Voici un extrait du livre d'AD sur les groupes finis.

Blanc a écrit:

Merci à Alain Debreil.

À ton service :-)

Toutefois "Les six sous-groupes cycliques d'ordre 4" ne sont en réalité que trois, car chaque sous-groupe cyclique d'ordre 4 contient deux éléments d'ordre 4 : un générateur et son inverse.

"Les neuf sous-groupes d'ordre 2 formés des neuf transpositions".
Dans $\mathfrak S_4$ il n'y a que 6 ($C_4^2$) transpositions, les trois autres éléments d'ordre 2 sont les trois doubles transpositions $(1\,2)(3\,4) ; (1\,3)(2\,4) ; (1\,4)(2\,3)$, qui avec le neutre vont former le sous-groupe de Klein (isomorphe à $C_2\times C_2)$ d'ordre 4, que tu as noté $V$.

Alain

C'est bon maintenant. (tu)
Alain