Algébriquement clos non commutatif

christophe c
christophe c
dans Algèbre
J'y pense tout d'un coup, qu'en est-il des corps non commutatif (anneau où tout élément [non nul AD] a un inverse) vérifiant que tout "polynôme" non constant a une racine. (Polynôme au sens toute expression algébrique).

A-t-on encore un théorème des zéros intact ?

J'ai franchement l'impression de n'avoir jamais entendu évoquées ces bestioles :-S
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Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Dans ton expression algébrique, ton inconnue est forcément "à la fin" ($ax^k + bx^7$) ou tu autorises des choses comme $ax^2cx^8$ ?
  • MrJ
    MrJ
    En tout cas, l’ensemble $\mathbb{H}$ ne convient pas : la fonction algébrique $x\mapsto i x - x i - 1$ ne s’annule pas sur $\mathbb{H}$.
  • MrJ
    MrJ
    En complément : https://math.stackexchange.com/questions/1071874/is-there-an-algebraic-closure-for-the-quaternions.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    MrJ : plus généralement, en caractéristique $0$ et en dimension finie sur son centre, $ x\mapsto ax-xa -1$ ne s'annule pas; et est non constant si $a$ n'est pas dans le centre.

    D'où ma question initiale, je ne suis pas sûr de ce qu'il en est si on force les monômes à être de la forme $ax^k$

    Edit : je viens de voir ton lien; visiblement pour ces polynômes là (plus généralement de la forme $x^n +$ n'importe quoi ) il y a des racines dans $\mathbb H$
  • christophe c
    christophe c
    Pardon pour le délai. Bien sûr ce qui m'intéresse c'est le cas où TOUTES les expressions sont concernées. Merci pour vos premières réponses.
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  • christophe c
    christophe c
    Le cas x|----> ax-xa est emblématique de la TQ et "je veux" qu'il ait une racine of course.

    En fait même je souhaite un fine un "théorème des zéros" (pas au sens où il est prouvé mais au sens où les non commutatifs qui le vérifient sont passionnants.

    De mon téléphone
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  • Foys
    Foys
    christophe c a écrit:
    Le cas x|----> ax-xa est emblématique de la TQ et "je veux" qu'il ait une racine of course.

    $x \mapsto ax - x a$ s'annule sur (spoiler --->) $a$ .
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu voulais certainement sire $ax-xa-1$
    Dans le cas des quaternions, le lien fourni par MrJ montre, je crois, que $xi+ix - j$ n'a de solution dans aucune extension raisonnable de $\mathbb H$
  • christophe c
    christophe c
    Oui merci pour la coquille. Ca a effectivement l'air d'être le vrai bordel, mais ça donne quand-même un exercice précis et formel qui est de se demander si un corps alg clos vérifie le théorème des zéros (sans hypothèse de commutativité).

    Sinon, pour les raisons habituelles,

    - il est facile d'étendre tout corps en UN corps alg clos**
    - il est facile d'étendre tout corps en UN corps vérifiant le TDZ

    Mais rien ne dit qu'il suffit de faire le premier truc pour garantir le second.

    Peut-être un indice du bazar que c'est : à quelles conditions $x\mapsto ax=xb$ NE PEUT PAS avoir de solution non nulle***? Autrement dit, dans un tel corps, les classes de conjugaison ont l'air sacrément grosses.

    ** K est alg clos quand pour toute équation à une inconnue, s'il existe une extension de K où elle a une solution alors elle a une solution dans K

    *** système (en clin d'oeil au TDZ) : $ax-xb=0$ et $xy-1=0$, l'inconnue étant $(x,y)$.
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  • christophe c
    christophe c
    Remarque: à la différence du cas commutatif, je ne sais d'ailleurs pas s'il peut exister des polynômes non constants mais "absolument pas" possiblement surjectif ) cause de raisons algébriques purement calculatoires.
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