Isomorphisme entre (Z/12Z,+) et (Z/26Z,x)*
Bonjour à tous, je vous sollicite à nouveau car je bloque sur les trois dernières questions de cet exercice.
3) Déjà, je ne sais pas comment trouver un isomorphisme entre ces deux éléments.
Soit $f: (\Z/12\Z,+) \rightarrow ((\Z/26\Z)^\times, \times)$
$\overline{a}^{12} \rightarrow \overline{a}^{26}$ si a est impair et différent de $13$. Dans le cas $a=13$ ou $a$ impair je ne sais pas trop comment faire !
4) $(\Z/26\Z)^\times=(\overline{1}, \overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{9},\overline{11},\overline{15},\overline{17},\overline{19},\overline{21},\overline{23},\overline{25})$.
Pourtant aucun de ces éléments n'a pour cube un multiple de 26 (enfin je crois).
Pourtant, la question 5 sous-entend que des éléments d'ordre 3 existent.
J'imagine que l'on peut se servir de la question 3 pour trouver de tels éléments.
Merci beaucoup pour votre aide !
3) Déjà, je ne sais pas comment trouver un isomorphisme entre ces deux éléments.
Soit $f: (\Z/12\Z,+) \rightarrow ((\Z/26\Z)^\times, \times)$
$\overline{a}^{12} \rightarrow \overline{a}^{26}$ si a est impair et différent de $13$. Dans le cas $a=13$ ou $a$ impair je ne sais pas trop comment faire !
4) $(\Z/26\Z)^\times=(\overline{1}, \overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{9},\overline{11},\overline{15},\overline{17},\overline{19},\overline{21},\overline{23},\overline{25})$.
Pourtant aucun de ces éléments n'a pour cube un multiple de 26 (enfin je crois).
Pourtant, la question 5 sous-entend que des éléments d'ordre 3 existent.
J'imagine que l'on peut se servir de la question 3 pour trouver de tels éléments.
Merci beaucoup pour votre aide !
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Réponses
Pour la 3) il vaudrait mieux se servir des deux questions précédentes : je te propose de montrer chacune de ces étapes.
- $\left(\mathbb Z/26 \mathbb Z\right)^{\times} \simeq \left(\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$ d'après la première question.
- $\left(\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times} \simeq \left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$.
- $\left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$ est cyclique d'ordre $12$ d'après la deuxième question (on peut aussi voir ça comme un fait général pour les corps $\mathbb Z/p \mathbb Z$ avec $p$ premier).
- Rassembler les morceaux.
$26 = 2 \times 13$ et $2$ et $13$ sont premiers entre eux. D'après le théorème des restes chinois,
$(\Z/26\Z,+)$ et $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)$ sont isomorphes.
On en déduit que $(\Z/26\Z)^{\times}$ et $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)^{\times}$ sont isomorphes.
Concernant le fait que $(\Z/13Z,\times)^{\times}$ et $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)^{\times}$ sont isomorphes...
Il faudrait commencer par trouver les éléments $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)^{\times}$.
Du coup on en déduit que $(\Z/13\Z)^{\times}$ et $(\Z/26\Z)^{\times}$ sont isomorphes.
Or, $(\Z/13\Z)^{\times}$ est cyclique d'ordre 12. Mais je ne vois pas ce qu'on peut en déduire concernant le nombre d'éléments d'ordre 3:
@ JLT: Ah oui merci!!
Donc si $\overline{x}$ est inversible dans $(\Z/2\Z,\times)$ et si $\overline{y}$ est inversible dans $(\Z/13\Z, \times)$.
C'est le cas.
Mais je ne vois pas comment on peut en déduire que $(\Z/2\Z \times \Z/13\Z)^{\times}$ et $(\Z/13\Z)^{\times}$ sont isomorphes !
@FdP : tu peux observer le titre original en en-tête de ma première réponse par exemple.
Mais $(\overline{1}^2, \overline{a}^{13}) = \overline{a}^{13}$?
@ Fin de Partie: J'ai en effet modifié le titre!
Donc comme $(\Z/26\Z)^{\times}$ et $(\Z/13\Z)^{\times}$ sont isomorphes, il nous reste à trouver le nombre d'éléments d'ordre 4 de $(\Z/13\Z)^{\times}$. Pour moi, il n'y a aucun élément dans $(\Z/13\Z)^{\times}$ dont la puissance 4 fasse $\overline{1}$ !
(dans un groupe cyclique, tous les sous-groupes sont cycliques)
@ Fin de Partie: Désolée je ne vois pas trop où vous voulez en venir...
NB: Un sous-groupe d'ordre $4$ n'est pas nécessairement cyclique mais ici, c'est un sous-groupe d'un groupe cyclique il est donc bien cyclique.
PS:
Avec les seuls théorèmes de Sylow, si je ne me fourvoie pas:
$n_2$, le nombre de $2$-Sylow est congru à $1$ modulo $2$ et doit diviser $3$ donc $n_2$ est égal à $1$ ou $3$.
$n_2$ peut-il être égal à $3$? Si le nombre de $2-$Sylow est $3$ dans un groupe $G$ d'ordre $12$ cyclique , deux à deux ils ont seulement l'élément neutre en commun. Ce qui fait que leur réunion comporte $3\times 3+1=10$ éléments. Les deux éléments restants devraient donc être les deux autres éléments du sous-groupe d'ordre $3$ qu'on sait exister par un autre théorème de Sylow. Mais si on prend un élément $a$ d'un des $2$-Sylow et un élément $b$ du $3$-Sylow et qu'on considère l'élément $ab$ alors cet élément est d'ordre le ppcm de l'ordre de $a$ et de l'ordre de $b$ c'est à dire $12$. Cet élément ne peut pas être dans l'un des $2$-Sylow et dans le $3$-Sylow.
Conclusion: $G$ n'a qu'un seul $2$-Sylow qui est d'ordre $4$ (et c'est un sous-groupe cyclique de $G$)
Le théorème est le suivant, si je me souviens bien, si $d>0$ est un entier qui divise $n$, l'ordre d'un groupe cyclique $G$, alors il existe un et un seul sous-groupe de $G$ qui est d'ordre $d$.
(tous les sous-groupes d'un groupe cyclique sont cycliques)
PS:
Il y a une autre manière de faire plus simple. On sait que $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ est isomorphe à $\left(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+\right)$
Comme il y a un unique 2-sous-groupe de Sylow (qui est d'ordre 4), alors il y a soit:
- 3 éléments d'ordre 2
- 2 élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 4.
- un élément d'ordre 2 et deux éléments d'ordre 4.
(En plus du neutre évidemment à chaque fois). Mais comment trancher?
PS:
J'ai peut-être un peu triché précédemment. 8-)
J'ai utilisé implicitement un résultat dont j'étais censé me passer, j'en ai peur.8-)
Que se passe-t-il quand dans un groupe fini deux sous-groupes cycliques de même ordre ont une intersection non réduite à l'élément neutre du groupe?
D'ailleurs si vous avez une idée de la façon dont se construit cet isomorphisme....
J'ai tenté de faire cela:
Si on sait que $\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+\right)$ a deux générateurs (la classe de $1$ et la classe de $3$).
Si on suppose que le nombre de $2$-Sylow est $3$ dans un groupe cyclique d'ordre $12$.
Chacun de ces sous-groupes de $2$-Sylow a deux générateurs, et deux sous-groupes de Sylow n'ont pas les mêmes générateurs autrement ils sont confondus. Ce qui fait qu'on a $3\times 2+1=7$ éléments au moins dans la réunion des $2$-Sylow. On a deux éléments de plus qui appartiennent à un $3$-Sylow. On a identifié $9$ éléments
Maintenant si on prend un élément $a_1$ qui génère un des $2$-Sylow et un élément $b$ qui génère un des $3$-Sylow on considère $a_1b$, cet élément aura pour ordre le ppcm des ordres de $a_1$ et de $b$ c'est à dire $12$.
On fait la même chose pour le deuxième $2$-Sylow qui a pour générateur $a_2$, l'élément $a_2b$ est d'ordre $12$ et cet élément est distinct de $a_1b$ car autrement $a_1=a_2$ ce qui n'est pas possible si on a supposé que les $2$-Sylow sont distincts. On fait la même chose avec le troisième $2$-Sylow. Ce qui fait qu'on a trois éléments de plus. Total $12$.
Mais on peut remplacer les $a_i$ par leur "opposés" qui sont aussi des générateurs de chaque $2$-Sylow et il me semble qu'on rajoute ainsi $3$ éléments de plus qui sont distincts d'éléments déjà identifiés et ce n'est pas possible.
Bref, il vaut mieux faire un calcul direct ici c'est plus simple. B-)-
PS:
A priori, sauf erreur, dans un groupe fini quelconque deux sous-groupes cycliques de même ordre même s'ils ont une intersection non réduite à l'élément neutre ne sont pas nécessairement confondus.
Soit $G$ un groupe d'ordre $n$.
quand dans un groupe fini deux sous-groupes cycliques de même ordre ont une intersection non réduite à l'élément neutre du groupe, alors on sait que si ces deux sous-groupes sont des p-sous-groupes de Sylow (où $p$ divise $G$ mais $p^2$ ne divise pas $G$, alors le nombre d'éléments d'ordre $p$ est strictement inférieur à $n_p(p-1)$ (où $n_p$ désigne le nombre de p-sous-groupes de Sylow).
Un autre résultat sur les groupes cycliques, si je me souviens bien:
Le nombre de générateurs de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ est $\varphi(n)$.
Et $\varphi(12)=4$.
PS:
Et si je me souviens toujours bien les générateurs de ce groupe sont les classes des entiers strictement positifs qui sont premiers à $n$.
PS:
$4+4=8, 4+4+4=12$ la classe de $4$ est d'ordre $3$ dans le groupe additif $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$
PS:
Dans l'énoncé il est donné un générateur du groupe $\left(\left(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}\right)^\star,\times\right)$, la classe de $2$.
(le téléphone a sonné au moment où j'écrivais le message précédent.
NB:
$2+2+2+2+2+2=12$ donc la classe de $2$ dans $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ est d'ordre $6$.
(et $2,2+2,2+2+2,2+2+2+2,2+2+2+2+2$ ne sont pas divisibles par $12$ )
Et un élément d'ordre 12 dans $(\Z/12\Z)$ est la classe de 1.
Et pour un élément d'ordre 12 dans $(\Z/26\Z)^{\times}$ je ne sais pas du tout^^
$\left(\mathbb Z/26 \mathbb Z\right)^{\times}$ est d'ordre $12$, engendré par (la classe de) $15$ (se trouve via l'isomorphisme dont on parlait précédemment, en utilisant que la classe de $2$ engendre $\left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$), que je noterai $g$. Ainsi les éléments de ce groupe sont $\{\overline 1, g, g^2, g^3, g^4, g^5, g^6, g^7, g^8, g^9, g^{10}, g^{11}\}$. Dire que $g$ est d'ordre $12$, c'est dire que $g^{12} = \overline 1$ mais qu'on n'a $g^k = \overline 1$ pour aucun $k$ vérifiant $1 \leq k < 12$. Au vu de cela, comment trouver quels sont les éléments d'ordre $4$ ?
Si on a un cours correct sur les groupes cycliques il n'y a pas grand chose à chercher dans cette partie du problème me semble-t-il. L'énoncé donne même un générateur pour que l'étudiant n'ait pas à perdre du temps en calculs. B-)-
PS:
Je suis bien d'accord que le recours aux sous-groupes de Sylow est un détour ici plutôt qu'un raccourci.
Mais j'ai trouvé ça amusant. B-)-
PS:
Sans parler de $2$-sous-groupe de Sylow le fait que $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ et $\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+\right)$ soient isomorphes permet de répondre rapidement, me semble-t-il, à la question du nombre d'éléments d'ordre $4$ dans $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$
@ Poirot. Je ne vois pas trop le lien entre le fait que la classe de 2 dans $(\Z/13\Z)$ engendre $(\Z/13\Z)^{\times}$ et le fait que la classe de 15 dans $(\Z/26\Z)$ engendre $(\Z/26\Z)^{\times}$...
Sinon les éléments d'ordre 4 sont les élément dont la puissance $4=12k+1$...
On a le résultat suivant: soient $m,n$ des entiers naturels non nuls premiers entre eux.
$\left(\left(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\right)^\star,\times \right)$ est isomorphe à $\left(\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)^\star,\times \right)\times \left(\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\star,\times \right)$.
Du coup $((\Z/26\Z)^*,\times)$ est isomorphe à $((\Z/13\Z)^*,\times) \times ((\Z/2\Z)^*,\times)$! Mais que peut-on en conclure concernant l'isomorphisme entre $((\Z/26\Z)^{\times}$ et $(\Z/12\Z)$ ?