Isomorphisme entre (Z/12Z,+) et (Z/26Z,x)*
Bonjour à tous, je vous sollicite à nouveau car je bloque sur les trois dernières questions de cet exercice.
3) Déjà, je ne sais pas comment trouver un isomorphisme entre ces deux éléments.
Soit $f: (\Z/12\Z,+) \rightarrow ((\Z/26\Z)^\times, \times)$
$\overline{a}^{12} \rightarrow \overline{a}^{26}$ si a est impair et différent de $13$. Dans le cas $a=13$ ou $a$ impair je ne sais pas trop comment faire !
4) $(\Z/26\Z)^\times=(\overline{1}, \overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{9},\overline{11},\overline{15},\overline{17},\overline{19},\overline{21},\overline{23},\overline{25})$.
Pourtant aucun de ces éléments n'a pour cube un multiple de 26 (enfin je crois).
Pourtant, la question 5 sous-entend que des éléments d'ordre 3 existent.
J'imagine que l'on peut se servir de la question 3 pour trouver de tels éléments.
Merci beaucoup pour votre aide !
3) Déjà, je ne sais pas comment trouver un isomorphisme entre ces deux éléments.
Soit $f: (\Z/12\Z,+) \rightarrow ((\Z/26\Z)^\times, \times)$
$\overline{a}^{12} \rightarrow \overline{a}^{26}$ si a est impair et différent de $13$. Dans le cas $a=13$ ou $a$ impair je ne sais pas trop comment faire !
4) $(\Z/26\Z)^\times=(\overline{1}, \overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{9},\overline{11},\overline{15},\overline{17},\overline{19},\overline{21},\overline{23},\overline{25})$.
Pourtant aucun de ces éléments n'a pour cube un multiple de 26 (enfin je crois).
Pourtant, la question 5 sous-entend que des éléments d'ordre 3 existent.
J'imagine que l'on peut se servir de la question 3 pour trouver de tels éléments.
Merci beaucoup pour votre aide !
Réponses
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Tout d'abord le titre n'a pas de sens, ça ne veut rien dire un isomorphisme entre un groupe et un corps. Un corps est muni de deux opérations, un groupe une seule. $\left(\mathbb Z/26 \mathbb Z\right)^{\times}$ muni de la multiplication est simplement un groupe. Et même si on considérait $\mathbb Z/26 \mathbb Z$ muni de l'addition et de la multiplication, ce n'est pas un corps.
Pour la 3) il vaudrait mieux se servir des deux questions précédentes : je te propose de montrer chacune de ces étapes.
- $\left(\mathbb Z/26 \mathbb Z\right)^{\times} \simeq \left(\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$ d'après la première question.
- $\left(\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times} \simeq \left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$.
- $\left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$ est cyclique d'ordre $12$ d'après la deuxième question (on peut aussi voir ça comme un fait général pour les corps $\mathbb Z/p \mathbb Z$ avec $p$ premier).
- Rassembler les morceaux. -
Soit $A,B$ deux anneaux; peux-tu relier $(A\times
^\times$ à $A^\times$ et $B^\times$ ? -
N.B. Un élément d'ordre 3 dans $(\Z/26\Z)^\times$ a pour cube $\overline{1}$. Ne pas confondre le groupe additif avec le groupe multiplicatif.
-
@ Poirot: Merci beaucoup!
$26 = 2 \times 13$ et $2$ et $13$ sont premiers entre eux. D'après le théorème des restes chinois,
$(\Z/26\Z,+)$ et $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)$ sont isomorphes.
On en déduit que $(\Z/26\Z)^{\times}$ et $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)^{\times}$ sont isomorphes.
Concernant le fait que $(\Z/13Z,\times)^{\times}$ et $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)^{\times}$ sont isomorphes...
Il faudrait commencer par trouver les éléments $(\Z/13\Z \times \Z/2\Z)^{\times}$.
Du coup on en déduit que $(\Z/13\Z)^{\times}$ et $(\Z/26\Z)^{\times}$ sont isomorphes.
Or, $(\Z/13\Z)^{\times}$ est cyclique d'ordre 12. Mais je ne vois pas ce qu'on peut en déduire concernant le nombre d'éléments d'ordre 3: -
@ Maxtimax: merci beaucoup! Mais justement je ne vois pas trop le lien...
@ JLT: Ah oui merci!! -
Pour la question de Maxtimax, ou ma première étape, il faut revenir à la définition d'élément inversible.
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@ Poirot : oui. Soit $(\overline{x,y}) \in (\Z/2\Z \times \Z/13\Z)^{\times}$, $(\overline{x,y})$ est inversible s'il existe $(\overline{s,t}) \in (\Z/2\Z \times \Z/13\Z)^{\times}$ tel que $(\overline{x,y})\times(\overline{s,t})= (\overline{1,1})$.
Donc si $\overline{x}$ est inversible dans $(\Z/2\Z,\times)$ et si $\overline{y}$ est inversible dans $(\Z/13\Z, \times)$.
C'est le cas.
Mais je ne vois pas comment on peut en déduire que $(\Z/2\Z \times \Z/13\Z)^{\times}$ et $(\Z/13\Z)^{\times}$ sont isomorphes ! -
@ Les inversibles de $Z/2Z$ sont les... éléments appartenant à la classe de 1!
Mais $(\overline{1}^2, \overline{a}^{13}) = \overline{a}^{13}$?
@ Fin de Partie: J'ai en effet modifié le titre! -
Ce n'est pas une égalité. Mais avec cette observation tu peux facilement définir un isomorphisme entre $\left(\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$ et $\left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$.
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Effectivement, l'isomorphisme est évident!
Donc comme $(\Z/26\Z)^{\times}$ et $(\Z/13\Z)^{\times}$ sont isomorphes, il nous reste à trouver le nombre d'éléments d'ordre 4 de $(\Z/13\Z)^{\times}$. Pour moi, il n'y a aucun élément dans $(\Z/13\Z)^{\times}$ dont la puissance 4 fasse $\overline{1}$ ! -
Dans un groupe cyclique d'ordre $12$, ce serait étonnant qu'il n'y ait pas d'élément d'ordre $4$... Si $g$ est un générateur de ce groupe, quel est l'ordre de $g^3$ ?
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$g^3=1$?
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Il faut vraiment que tu révises la notion d'ordre d'élément d'un groupe, et de générateur d'un groupe cyclique. Si $g^3=1$, $g$ aura du mal à engendrer un groupe d'ordre $12$ !
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Sauf erreur de ma part, on peut avoir rapidement une idée de combien il y a d'éléments d'ordre $4$. Après il n'y a plus qu'à éliminer le ou les cas qui ne conviennent pas. $4=2^2$ et $12=2^2\times 3$.
(dans un groupe cyclique, tous les sous-groupes sont cycliques) -
Un sous-groupe d'ordre $4$ dans un groupe d'ordre $12=3\times 2^2$ cela ne t'évoque rien du tout?
NB: Un sous-groupe d'ordre $4$ n'est pas nécessairement cyclique mais ici, c'est un sous-groupe d'un groupe cyclique il est donc bien cyclique. -
@ Fin de Partie: si cela m'évoque les théorèmes de Sylow! Sauf que nous ne sommes pas censés connaître ce théorème dans ce cours (car les cours d'action de groupe dans lesquels nous avons étudié ce théorème est optionnel).
-
Alors il faut connaître des propriétés des groupes cycliques. Par exemple si $d$ divise $n$ l'ordre d'un groupe cyclique alors....?
PS:
Avec les seuls théorèmes de Sylow, si je ne me fourvoie pas:
$n_2$, le nombre de $2$-Sylow est congru à $1$ modulo $2$ et doit diviser $3$ donc $n_2$ est égal à $1$ ou $3$.
$n_2$ peut-il être égal à $3$? Si le nombre de $2-$Sylow est $3$ dans un groupe $G$ d'ordre $12$ cyclique , deux à deux ils ont seulement l'élément neutre en commun. Ce qui fait que leur réunion comporte $3\times 3+1=10$ éléments. Les deux éléments restants devraient donc être les deux autres éléments du sous-groupe d'ordre $3$ qu'on sait exister par un autre théorème de Sylow. Mais si on prend un élément $a$ d'un des $2$-Sylow et un élément $b$ du $3$-Sylow et qu'on considère l'élément $ab$ alors cet élément est d'ordre le ppcm de l'ordre de $a$ et de l'ordre de $b$ c'est à dire $12$. Cet élément ne peut pas être dans l'un des $2$-Sylow et dans le $3$-Sylow.
Conclusion: $G$ n'a qu'un seul $2$-Sylow qui est d'ordre $4$ (et c'est un sous-groupe cyclique de $G$) -
Si $d$ divise $n$, alors il peut y avoir un élément ou un groupe d'ordre $d$ (ce n'est pas automatique)
-
Diasmine:
Le théorème est le suivant, si je me souviens bien, si $d>0$ est un entier qui divise $n$, l'ordre d'un groupe cyclique $G$, alors il existe un et un seul sous-groupe de $G$ qui est d'ordre $d$.
(tous les sous-groupes d'un groupe cyclique sont cycliques) -
Ah ok je n'ai jamais vu ce théorème!
-
Alors je ne vois pas comment tu vas répondre à la question 4) autrement qu'en cherchant l'ordre de tous les éléments du groupe (ce qui doit être assez aisé le groupe est d'ordre $12$)
PS:
Il y a une autre manière de faire plus simple. On sait que $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ est isomorphe à $\left(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+\right)$ -
PS: Pour le théorème de Sylow c'est ce que j'avais trouvé aussi!
Comme il y a un unique 2-sous-groupe de Sylow (qui est d'ordre 4), alors il y a soit:
- 3 éléments d'ordre 2
- 2 élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 4.
- un élément d'ordre 2 et deux éléments d'ordre 4.
(En plus du neutre évidemment à chaque fois). Mais comment trancher? -
L'utilisation des théorèmes de Sylow ici n'est peut-être pas la voie la plus simple mais si on ne sait rien sur les groupes cycliques et qu'on a la paresse de faire des calculs on a rapidement, grâce aux théorèmes de Sylow, deux valeurs possibles pour le nombre de sous-groupes d'ordre $4$ (qui sont cycliques ici).
PS:
J'ai peut-être un peu triché précédemment. 8-)
J'ai utilisé implicitement un résultat dont j'étais censé me passer, j'en ai peur.8-)
Que se passe-t-il quand dans un groupe fini deux sous-groupes cycliques de même ordre ont une intersection non réduite à l'élément neutre du groupe? -
supp
-
Oui c'est assez simple si on regarde le groupe $(Z/12Z,+)$. Dans ce groupe, il y a 3 éléments d'ordre 4:($\overline{3},\overline{6},\overline{9}$). Donc il y a aussi 3 éléments d'ordre 4 dans $(Z/26Z)^{\times}$!
D'ailleurs si vous avez une idée de la façon dont se construit cet isomorphisme....
J'ai tenté de faire cela: -
Il y a peut-être un moyen de rafistoler mon argument ci-dessus:
Si on sait que $\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+\right)$ a deux générateurs (la classe de $1$ et la classe de $3$).
Si on suppose que le nombre de $2$-Sylow est $3$ dans un groupe cyclique d'ordre $12$.
Chacun de ces sous-groupes de $2$-Sylow a deux générateurs, et deux sous-groupes de Sylow n'ont pas les mêmes générateurs autrement ils sont confondus. Ce qui fait qu'on a $3\times 2+1=7$ éléments au moins dans la réunion des $2$-Sylow. On a deux éléments de plus qui appartiennent à un $3$-Sylow. On a identifié $9$ éléments
Maintenant si on prend un élément $a_1$ qui génère un des $2$-Sylow et un élément $b$ qui génère un des $3$-Sylow on considère $a_1b$, cet élément aura pour ordre le ppcm des ordres de $a_1$ et de $b$ c'est à dire $12$.
On fait la même chose pour le deuxième $2$-Sylow qui a pour générateur $a_2$, l'élément $a_2b$ est d'ordre $12$ et cet élément est distinct de $a_1b$ car autrement $a_1=a_2$ ce qui n'est pas possible si on a supposé que les $2$-Sylow sont distincts. On fait la même chose avec le troisième $2$-Sylow. Ce qui fait qu'on a trois éléments de plus. Total $12$.
Mais on peut remplacer les $a_i$ par leur "opposés" qui sont aussi des générateurs de chaque $2$-Sylow et il me semble qu'on rajoute ainsi $3$ éléments de plus qui sont distincts d'éléments déjà identifiés et ce n'est pas possible.
Bref, il vaut mieux faire un calcul direct ici c'est plus simple. B-)-
PS:
A priori, sauf erreur, dans un groupe fini quelconque deux sous-groupes cycliques de même ordre même s'ils ont une intersection non réduite à l'élément neutre ne sont pas nécessairement confondus. -
@ Fin de Partie:
Soit $G$ un groupe d'ordre $n$.
quand dans un groupe fini deux sous-groupes cycliques de même ordre ont une intersection non réduite à l'élément neutre du groupe, alors on sait que si ces deux sous-groupes sont des p-sous-groupes de Sylow (où $p$ divise $G$ mais $p^2$ ne divise pas $G$, alors le nombre d'éléments d'ordre $p$ est strictement inférieur à $n_p(p-1)$ (où $n_p$ désigne le nombre de p-sous-groupes de Sylow). -
Diasmine:
Un autre résultat sur les groupes cycliques, si je me souviens bien:
Le nombre de générateurs de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ est $\varphi(n)$.
Et $\varphi(12)=4$.
PS:
Et si je me souviens toujours bien les générateurs de ce groupe sont les classes des entiers strictement positifs qui sont premiers à $n$.
PS:
$4+4=8, 4+4+4=12$ la classe de $4$ est d'ordre $3$ dans le groupe additif $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ -
Fin de Partie: oui merci beaucoup c'est effectivement ce que nous avions vu en cours! D'ailleurs si quelqu'un arrive à montrer l'isomorphisme entre $(Z/26Z,\times)^{\times}$ et $(Z/12Z,+)$ ^^ (celui que j'ai tenté de faire plus haut n'est même pas un morphisme)
-
Tu as deux groupes cycliques il faut que tu isoles un élément d'ordre $12$ dans chacun des groupes et tu considères l'application qui associe l'un à l'autre. Cela ne doit pas être trop difficile de prolonger cette application à tout le groupe dont est issu l'un de ces éléments d'ordre $12$.
PS:
Dans l'énoncé il est donné un générateur du groupe $\left(\left(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}\right)^\star,\times\right)$, la classe de $2$. -
supp
-
Top je vais essayer! Dans $(\Z/12\Z)$, un élément d'ordre 12 est $\overline{2}$. Dans $(\Z/26\Z)^{\times}$, un élément d'ordre 12 est la classe de 2 j'imagine ...
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Diasmine: Bien sûr que non
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Aha d'accord ! Il faut trouver un élément $x$ dans $\Z$ tel que $x^{12} = 26k+1$. Mais je ne sais pas comment trouver un tel élément !
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Ce que je voulais dire est que $2$ n'est pas un générateur de $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ puisque $2$ n'est pas premier avec $12$. Un générateur de ce groupe "additif" est évident.
(le téléphone a sonné au moment où j'écrivais le message précédent.
NB:
$2+2+2+2+2+2=12$ donc la classe de $2$ dans $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ est d'ordre $6$.
(et $2,2+2,2+2+2,2+2+2+2,2+2+2+2+2$ ne sont pas divisibles par $12$ ) -
Ah oui effectivement! Un générateur évident de $(\Z/12\Z)$ est la classe de 1!
Et un élément d'ordre 12 dans $(\Z/12\Z)$ est la classe de 1.
Et pour un élément d'ordre 12 dans $(\Z/26\Z)^{\times}$ je ne sais pas du tout^^ -
Diasmine: pour le second groupe l'énoncé donne un générateur. la classe de $2$.
-
Bon sang que c'est fastidieux, je trouve que tu n'es pas d'une grande aide à invoquer Sylow Fin de Partie... On parle quand même d'un groupe cyclique d'ordre $12$, ce n'est pas si compliqué de faire des calculs directement dedans, on peut tout écrire !
$\left(\mathbb Z/26 \mathbb Z\right)^{\times}$ est d'ordre $12$, engendré par (la classe de) $15$ (se trouve via l'isomorphisme dont on parlait précédemment, en utilisant que la classe de $2$ engendre $\left(\mathbb Z/13 \mathbb Z\right)^{\times}$), que je noterai $g$. Ainsi les éléments de ce groupe sont $\{\overline 1, g, g^2, g^3, g^4, g^5, g^6, g^7, g^8, g^9, g^{10}, g^{11}\}$. Dire que $g$ est d'ordre $12$, c'est dire que $g^{12} = \overline 1$ mais qu'on n'a $g^k = \overline 1$ pour aucun $k$ vérifiant $1 \leq k < 12$. Au vu de cela, comment trouver quels sont les éléments d'ordre $4$ ? -
Poirot:
Si on a un cours correct sur les groupes cycliques il n'y a pas grand chose à chercher dans cette partie du problème me semble-t-il. L'énoncé donne même un générateur pour que l'étudiant n'ait pas à perdre du temps en calculs. B-)-
PS:
Je suis bien d'accord que le recours aux sous-groupes de Sylow est un détour ici plutôt qu'un raccourci.
Mais j'ai trouvé ça amusant. B-)-
PS:
Sans parler de $2$-sous-groupe de Sylow le fait que $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ et $\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+\right)$ soient isomorphes permet de répondre rapidement, me semble-t-il, à la question du nombre d'éléments d'ordre $4$ dans $\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+\right)$ -
supp
-
@Fin de Partie: L'exercice nous pousse à montrer que la classe de 2 dans $(\Z/13\Z)$ engendre $(\Z/13\Z)^{\times}$ et pas $(\Z/26\Z)^{\times}$.
@ Poirot. Je ne vois pas trop le lien entre le fait que la classe de 2 dans $(\Z/13\Z)$ engendre $(\Z/13\Z)^{\times}$ et le fait que la classe de 15 dans $(\Z/26\Z)$ engendre $(\Z/26\Z)^{\times}$...
Sinon les éléments d'ordre 4 sont les élément dont la puissance $4=12k+1$... -
Diasmine: tu as raison. Dans ce cours on connait le lemme chinois?
-
@ Oui! C'est grâce à lui que j'ai pu répondre à la question 1!
-
Ce n'est pas exactement le lemme chinois en fait auquel je pensais.
On a le résultat suivant: soient $m,n$ des entiers naturels non nuls premiers entre eux.
$\left(\left(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\right)^\star,\times \right)$ est isomorphe à $\left(\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)^\star,\times \right)\times \left(\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\star,\times \right)$. -
supp
-
D'accord merci beaucoup !
Du coup $((\Z/26\Z)^*,\times)$ est isomorphe à $((\Z/13\Z)^*,\times) \times ((\Z/2\Z)^*,\times)$! Mais que peut-on en conclure concernant l'isomorphisme entre $((\Z/26\Z)^{\times}$ et $(\Z/12\Z)$ ? -
supp
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