Diagonalisation en dimension infinie

Bonjour,

Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension quelconque (donc potentiellement nulle ou infinie) et $u$ un endomorphisme de $E$. On note $\mathrm{Sp}(u)$ le spectre de $u$ et pour tout $\lambda\in\K$, $E_{\lambda}(u):=\ker(u-\lambda\mathrm{Id}_E)$.

Avez-vous d'autres assertions équivalentes à celles-ci :
1) $E=\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}E_{\lambda}(u)$ ;
2) $E=\oplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}E_{\lambda}(u)$ ;
3) il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ ;
4) il existe une famille $(F_i)_{i\in I}$ de sous-espaces $u$-stables de $E$ telle que :

1. $\forall i\in I\quad \exists\lambda_i\in\K\quad u_{F_i}=\lambda_i\mathrm{Id}_{F_i}$,
2. $E=\oplus_{i\in I}F_i$.

J'ai essayé de bricoler un truc avec des projecteurs mais je n'ai qu'une implications. Comme $E$ n'est pas forcément de dimension finie, on oublie ici les caractérisations avec les matrices ou les déterminants.