Anneau et équation diophantienne

mcd
mcd
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Je vous joins un exercice, la question 5.b me bloque. J'ai essayé d'utiliser le caractère principal de l'anneau mais c'est il est tard, je ne vois pas.
Je vous souhaite une belle journée.115234

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Maintenant, pour répondre à ta question, mieux vaudrait que tu donnes l'énoncé en entier.
  • Chaurien
    Chaurien
    Pour la question 5. b, peut-être noter que $2i \sqrt { 2}=-(i \sqrt 2)^3$ ...
  • mcd
    mcd
    Bonjour,

    Si vous voulez voir les autres questions : http://www.bourrigan.fr/ENSL/alg1/Alg1_DM2.pdf
  • mcd
    mcd
    Mais que voulez faire à la 5.b ?
    On pourrait par exemple montrer qu'il existe $m$ tel que $x-i\sqrt{2}$ et $x+ i \sqrt{2}$ s'écrive respectivement $\alpha (i \sqrt{2})^{m}$ et $\beta (i \sqrt{2})^{m}$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i \sqrt{2}]$
  • Chaurien
    Chaurien
    Merci pour l'énoncé complet, on y voit plus clair.
    Puisque tu bloques à la question 5. b, tu as montré que $i \sqrt { 2}$ est irréductible dans l'anneau $\mathbb Z [i \sqrt { 2}]$. Tu as aussi montré que l'anneau $\mathbb Z [i \sqrt { 2}]$ est euclidien, donc principal. Le générateur de l'idéal $\mathfrak{q}$ est un diviseur de $ 2i \sqrt { 2}=-(i \sqrt 2)^3$. Donc...
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • mcd
    mcd
    Bonjour,

    merci pour votre réponse, c'est clair ! Votre indication implique sur $q$ est un diviseur de $(i \sqrt{2})^{3}$. Il s'agit de $(i \sqrt{2})^{m}$ avec $m \in \{0,..,3\}$ car $(i \sqrt{2})^{3}$ est produit d'irréductible dans $\mathbb{Z}[i \sqrt{2}]$ et que $(i \sqrt{2}$ est irréductible.
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