Liste des lemmes purs d'algèbre commutative
dans Algèbre
Ce fil est dédié à donner une liste sans preuve des lemmes abstraits d'algèbre commutative (théorie des anneaux commutatifs)
Je commence, n'hésitez pas à compléter. J'invite à ouvrir un fil avec "preuve de machin" pour qui veut poster des preuves de façon que le fil reste court et renseignant culturellement. Tous les anneaux considérés sont commutatifs
1/ Tout anneau artinien est noethérien
2/ Tout anneau noethérien où tous les idéaux premiers sont maximaux est artiniens
3/ Pour tout anneau noethérien $A: A[X]$ et $AX$ sont noethériens
4/ Pour tout anneau local $A$ (idéal maximal unique noté $K$) et $M$ qui est un $A$-module de type fini*, si $KM=M$ alors $M=0$
* merci Maxtimax
5/ Toute matrice carrée injective ou surjective a un déterminant régulier
6/ Toute matrice carrée surjective a un déterminant inversible
7/ A supposé noethérien: soient $I,J$ des idéaux. Pour tout entier $n$ assez grand : $I^{n+1}\cap J = (I^n\cap J).I$
8/ $P$ idéal premier minimal parmi les premiers. Tout élément $a$ de $P$ vérifie :$ \exists n\in \N, x\notin P: xa^n=0$
9/ A supposé noethérien: l'idéal nul est produit d'un nombre fini d'idéaux premiers
10/ Tout anneau noethérien est faiblement factoriel
11/ Tout anneau principal est factoriel
12/ $A$ supposé noethérien. $M$ est un module sur $A$ de type fini. Alors tout sous-module de $M$ est de type fini
13/ (résultat maison). Si tout idéal de $A[X]$ est principal alors $A$ est un produit fini de corps et réciproquement
14/ $K$ est un corps algébriquement clos ssi pour tout entier $n$ et tout idéal $J$ de $B:=K[X_1,,.,X_n]$, pour tout $Q\in B$ :
$$ (\forall y\in \{x\in K^n\mid \forall P\in J : P(x)=0\}: Q(y)=0) \iff Q\in \sqrt{J}$$
15/ Tout élément appartenant à tous les idéaux premiers est nilpotent
16/ Anneau noethérien: soit $J$ un idéal et $K:=\cap_{n\in \N} J^n$. Alors pour $ \exists y\in J\forall x\in K: xy=x$. Merci NoName
16bis/ Anneau noethérien: soit $J$ un idéal et $K:=\cap_{n\in \N} J^n$. Alors $K\subset KJ$ (je réécrirai celui-ci, j'ai un trou de mémoire, on a un peu plus en fait)
N'hésitez pas à corriger.
Je commence, n'hésitez pas à compléter. J'invite à ouvrir un fil avec "preuve de machin" pour qui veut poster des preuves de façon que le fil reste court et renseignant culturellement. Tous les anneaux considérés sont commutatifs
1/ Tout anneau artinien est noethérien
2/ Tout anneau noethérien où tous les idéaux premiers sont maximaux est artiniens
3/ Pour tout anneau noethérien $A: A[X]$ et $AX$ sont noethériens
4/ Pour tout anneau local $A$ (idéal maximal unique noté $K$) et $M$ qui est un $A$-module de type fini*, si $KM=M$ alors $M=0$
* merci Maxtimax
5/ Toute matrice carrée injective ou surjective a un déterminant régulier
6/ Toute matrice carrée surjective a un déterminant inversible
7/ A supposé noethérien: soient $I,J$ des idéaux. Pour tout entier $n$ assez grand : $I^{n+1}\cap J = (I^n\cap J).I$
8/ $P$ idéal premier minimal parmi les premiers. Tout élément $a$ de $P$ vérifie :$ \exists n\in \N, x\notin P: xa^n=0$
9/ A supposé noethérien: l'idéal nul est produit d'un nombre fini d'idéaux premiers
10/ Tout anneau noethérien est faiblement factoriel
11/ Tout anneau principal est factoriel
12/ $A$ supposé noethérien. $M$ est un module sur $A$ de type fini. Alors tout sous-module de $M$ est de type fini
13/ (résultat maison). Si tout idéal de $A[X]$ est principal alors $A$ est un produit fini de corps et réciproquement
14/ $K$ est un corps algébriquement clos ssi pour tout entier $n$ et tout idéal $J$ de $B:=K[X_1,,.,X_n]$, pour tout $Q\in B$ :
$$ (\forall y\in \{x\in K^n\mid \forall P\in J : P(x)=0\}: Q(y)=0) \iff Q\in \sqrt{J}$$
15/ Tout élément appartenant à tous les idéaux premiers est nilpotent
16/ Anneau noethérien: soit $J$ un idéal et $K:=\cap_{n\in \N} J^n$. Alors pour $ \exists y\in J\forall x\in K: xy=x$. Merci NoName
16bis/ Anneau noethérien: soit $J$ un idéal et $K:=\cap_{n\in \N} J^n$. Alors $K\subset KJ$ (je réécrirai celui-ci, j'ai un trou de mémoire, on a un peu plus en fait)
N'hésitez pas à corriger.
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Réponses
Sniiiffffffffff: bon si personne ne le renseigne je chercherai sur google, je peux le retrouver en moins de 40mn je pense. Mais je laisse la chance au collectivisme :-D
Cela résulte du lemme d'Artin-Rees qui dit que sur un module de type finie sur un anneau noethérien la topologie $I$-adique induit la topologie $I$-adique sur ses sous modules. Ce qui est peu ou prou ton point 7.
qui contient des démonstations courtes et efficaces d'un certain nombres de résultats dans le style inimitable de l'auteur.
L'énoncé 4/ (dans le cas finiment engendré) possède une preuve de 3 lignes même pas difficile à trouver (exo!).
On peut aussi le déduire du bas de ce message mais ce n'est pas nécessaire http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2144326,2145224#msg-2145224 (je pense à mes lecteurs déterminantphobes :-D bon ils ne sont pas très nombreux. La preuve en 3 lignes dont je parle ne les utilise pas, elle n'utilise quasiment rien sinon que dans un anneau local, l'idéal maximal est le complémentaire des éléments inversibles).
J'en ajoute quelques un qui me passent par la tête. Certains de ces "lemmes" sont plutôt des théorèmes.
Dans ce qui suit, les anneaux sont commutatifs et unitaires, et $A$ désignera un anneau.
$\rhd$Référence: Matsumura, Commutative Ring Theory, paragraphe $2$, théorème $2.2$.
$\rhd$Référence: Bourbaki, Algèbre Commutative, chapitre II, paragraphe $1$, proposition $2$.
$\rhd$Référence: Matsumura, Commutative Ring Theory, paragraphe $9$, lemme $1$.
$\rhd$Référence: Atiyah & MacDonald, Introduction to commutative algebra, proposition $7.8$.
$\rhd$Référence: Matsumura, Commutative Ring Theory, paragraphe $3$, théorème $3.7$.
A \hookrightarrow A[X_1,\ldots,X_n] \overset{\phi}{\hookrightarrow} B' \hookrightarrow B
\end{align*}
et tel que $B'[\phi(a)^{-1}] \cong B[f(a)^{-1}]$.
$\rhd$Référence: The Stacks Project, 07NA.
Dans ce qui suit, pour un entier $n \geq 0$ et $f \in A[X_1,\ldots,X_n]$, on note $c(f)$ l'idéal de $A$ engendré par les coefficients de $f$. On dit que $f$ est primitif si $c(f) = A$.
$\rhd$Référence: Lombardi & Quitté, Algèbre commutative, Méthodes constructives, chapitre III, lemme $2.2$.
$\rhd$Référence: Lombardi & Quitté, Algèbre commutative, Méthodes constructives, chapitre III, théorème $3.3$.
Dans ce qui suit, les anneaux sont commutatifs et unitaires, et $A$ désignera un anneau.
20/ Lemme de Nakayama. Soit $I$ un idéal de $A$ et $M$ un $A$-module de type fini.
Si $IM = M$, alors il existe $a \in A$ tel que $aM = 0$ et $1 - a \in I$.
Si $I \subset \mathrm{rad}(A)$, alors $M = 0$.
$\rhd$Référence: Matsumura, Commutative Ring Theory, paragraphe $2$, théorème $2.2$.
21/ Lemme d'évitement des premiers. Soit $n>0$ et $I_1,\ldots,I_n$ des idéaux de $A$. On suppose que pour tout $k \geq 2$, $I_k$ est premier. Si $E$ est une partie de $A$ stable par addition et multiplication telle que $E \subset \bigcup_{k=1}^n I_k$, alors il existe $k \in \{1,\ldots, n\}$ tel que $E \subset I_k$.
$\rhd$Référence: Bourbaki, Algèbre Commutative, chapitre II, paragraphe $1$, proposition $2$.
22/ Lemme de Zariski. Soit $B$ un anneau intègre et $i : A \to B$ un morphisme d'anneau injectif, on suppose que $B$ est entier sur $A$.
Alors $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
$\rhd$Référence: Matsumura, Commutative Ring Theory, paragraphe $9$, lemme $1$.
23/ Lemme d'Artin-Tate. Soient $B$ et $C$ des anneaux tels que $A \subset B \subset C$. On suppose que $A$ est noétherien, que $C$ est une $A$-algèbre de type fini et est un $B$-module de type fini, alors $B$ est une $A$-algèbre de type fini.
$\rhd$Référence: Atiyah & MacDonald, Introduction to commutative algebra, proposition $7.8$.
24/ Lemme d'Eakin-Nagata. Si $B$ est un anneau noetherien contenant $A$ et de type fini comme $A$-module, alors $A$ est noetherien.
$\rhd$Référence: Matsumura, Commutative Ring Theory, paragraphe $3$, théorème $3.7$.
25/ Lemme de Normalisation de Noether. On suppose que $A$ est intègre. Soit $f: A \to B$ un morphisme injectif et de type fini. Il existe un entier naturel $n$, un élément $a$ non nul de $A$, un sous-anneau $B'$ de $B$ et un morphisme injectif et fini $\phi : A[X_1,\ldots, X_n] \to B'$ tels que $f : A \to B$ soit égal à la composée $$
A \hookrightarrow A[X_1,\ldots,X_n]
\overset{\phi}{\hookrightarrow} B' \hookrightarrow B
$$ et tels que $B'[\phi(a)^{-1}] \cong B[f(a)^{-1}]$.
$\rhd$Référence : The Stacks Project, 07NA.
Dans ce qui suit, pour un entier $n \geq 0$ et $f \in A[X_1,\ldots,X_n]$, on note $c(f)$ l'idéal de $A$ engendré par les coefficients de $f$. On dit que $f$ est primitif si $c(f) = A$.
26/ Lemme de Dedekind-Mertens. Soient $f, g \in A[T]$. Soit $m \geq \mathrm{deg}(g)$. Alors $c(f)^{m+1}c(g) = c(f)^mc(fg)$.
$\rhd$ Référence. Lombardi & Quitté, Algèbre commutative, Méthodes constructives, chapitre III, lemme $2.2$.
27/ Théorème de Kronecker. Soient $f := \sum\limits_{i=0}^n (-1)^i f_i T^{n-i}$ et $g := \sum\limits_{j=0}^m (-1)^j g_j T^{m-j}$ deux éléments de $A[T]$. On pose $h := fg = \sum\limits_{r=0}^p(-1)^rh_rT^{p-r},$ où $p = m+n$. Soit $B := \mathbb{Z}[h_0,\ldots,h_r]$ le sous-anneau de $A$ engendré par les coefficients de $h$. Alors pour tout $i \in \{0,\ldots n\}$ et pour tout $j \in \{0,\ldots, m\}$, $f_ig_j$ est entier sur $B$.
$\rhd$Référence: Lombardi & Quitté, Algèbre commutative, Méthodes constructives, chapitre III, théorème $3.3$.
Lemme 30:
Soit $E$ un ensemble ordonné. Soit $f,g$ deux applications de $E^2$ dans $E$ vérifiant la condition suivante:
Pour tout $x,y: (g(x,y)\geq x$ et $g(x,y)\geq y)$
On dira qu'une partie $A$ de $E$ est stable quand pour tout $x,y:$
1/ si $x\in A$ et $f(x,y)\in A$ alors $y\in A$
2/ si $y\in A$ et $f(x,y)\in A$ alors $x\in A$
3/ si $x\in A$ et $y\geq x$ alors $y\in A$
On dira qu'elle est fiable quand elle est stable et en plus $\forall x,y: g(x,y)\in A\to (x\in A$ ou $y\in A)$
Le lemme dit la chose suivante et il est constructif
Soit $F$ un ensemble fini de parties fiables. Soit $A,B$ des parties stables et on suppose que $B$ n'est pas une partie de $A$. On note $R$ la réunion des éléments de $F$ et on suppose que $B$ est inclus dans $A\cup R$.
Alors il existe $C\in F$ tel que $B\subset C$
Cette version est très facile à prouver (pour qui a la patience de lire) car les ingrédients présents sont juste ce qu'il faut pour le prouver. On n'avait pas besoin de:
- propriétés algébriques des opérations (commutativité, associativité, etc)
- liens entre elles (par exemple distributivité)
- de structure
de sorte que le lecteur qui veut faire l'exercice de chercher "où je vais utiliser la distributivité ou telle ou telle autre propriété"
En outre la preuve est "constructive" au sens où il n'y a qu'un nombre fini d'expressions formelles parmi lesquelles se trouvent la "bonne", quand on part de "lettres" dont on suppose juste que $x_J\in B\setminus J$ pour tout $J$ évoqué dans le lemme.
J'ai l'impression qu'il est peut-être une généralité abstraite encore plus propre et pure, qui ressemble au déterminant derrière ce machin.
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et noethérien ne contenant pas d'éléments nilpotents. Soit $J$ un idéal. Alors il existe $a\in J$ tel que pour tout $x\in A$:
$$ (\forall y\in J: xy=0)\iff (ax=0) $$
Il s'agit grosso-modo de fabriquer des idéaux premiers sur le principe ``tout idéal maximal parmi les idéaux ne vérifiant pas la propriété truc-muche est premier'' : 4 exemples tirés du papier. Lam & Reyes ont dégagé un ``principe'' (Oka & Ako families).
Soient $R$ commutatif et $P_R$ un module projectif finiment engendré.
Alors $P_R$ est un $\textbf{pro-générateur}$ si et seulement si il est fidèle (faithful).
Je vous laisse le soin de (re)-définir les pro-générateurs et la régularité de von Neumann (je ne les ai pas en tête et je suis dans le train !).
J’ignore si ce sont à proprement parler des résultats d’algèbre commutative mais je signale à tout hasard le $\textbf{lemme d’Osofsky}$ et le $\textbf{Théorème de Levitski}$.
Source: $\textbf{Rings and category of modules}$-F.W. Anderson, K.R. Fuller.
...
A commutative ring is $\textbf{semi-prime}$ if and only if it can be embedded in a product of fields.
Bonne journée.
…
Les anneaux de VN sont ceux où tout élément est multiple de son carré. Je ne connais aucun des termes savants évoqués: semi-prime, fidèle, projectif, progénérateur.
Je vais devoir taffer pour recopier en français et numéroter ces lemmes.
@CQ: je vais aller lire "le principe dégagé" et si possible le numéroter. Merci
Lemme 32 :
Soit $E$ un ensemble d'idéaux tel que pour tout $a,b$ et tout $J$ dans $E$ l'un au moins parmi les 4 idéaux suivants est dans $E$ :
$J+a$
$J+b$
$\{x\mid ax\in J\}$
$\{x\mid bx\in J\}$
Alors les éléments maximaux de $E$ sont tous des idéaux premiers. La preuve est évidente.
Si quelqu'un veut se faire le plaisir d'analyser sous ce jour les 4 ensembles signalés par CQ...
C’est faux pour les anneaux noetheriens.
An application of Jonsson modules (…)- R.Gilmer, W.Heinzer.
Vous trouverez également d’intéressantes propriétés sur les anneaux commutatifs et leurs cardinaux dans $\textbf{On the cardinality of subrings of a commutative ring}$ par les mêmes auteurs.
Je m’arrête là.
...
Elle est à l’origine d’un lemme d’algèbre commutative.
Un anneau dont tous les modules finiment générés sont injectifs doit être artinien semi-simple.
Cordialement
...
en fait non: l’affirmation ne concerne pas tous les anneaux réguliers VN.
Je pensais à cette caractérisation de la régularité VN:
Si $R$ est n’importe quel anneau avec identité et si chaque $R$-module à droite cyclique est injectif, alors $R$ est régulier au sens de von Neumann.
...
laisse tomber: je m’embrouille TOTALEMENT !
Je pensais, visiblement à tort, que tous les anneaux artiniens semi-simples étaient commutatifs.
Et donc le lemme d’Osovsky: si chaque $R$-module cyclique est injectif alors $R$ est artinien semi-simple - n’est pas un pur lemme d’algèbre commutative.
...
36/ [$\textbf{Cohen}$] Soit un anneau $R$ ayant la propriété que pour chaque idéal propre à droite $I$ de $R$, $R/I$ est artinien en tant que $R$-module.
Supposons $R$ commutatif. Alors $R$ satisfait cette propriété si et seulement si $R$ est noethérien et chacun de ses idéaux premiers propres est maximal.
...
Je n'ai pas tout lu, mais ce théorème m'avait marqué:
"Tout sous A-module d'un A-module de type fini n est aussi de type fini inférieur ou égal à n" est vrai si et seulement si A est principal.
Cordialement,
Rescassol
"Tout sous A-module d'un A-module de type fini n est aussi de type fini inférieur ou égal à n" est vrai si et seulement si A est principal.
Merci à tous deux pour vos apports.
En passant je signale que je ne sais pas ce que Claude a contre moi, mais il m'a joué un bien vilain tour en écrivant
Car je n'ai aucune idée d'en donner une preuve courte AUTREMENT qu'en m'en servant, et en plus j'ai passé plus d'une heure je pense à chercher.
Donc si des gens veulent faire l'exercice et sont mortels, je vous conseille de vous servir du lemme*** (numéro 21 de ce fil), sinon, vous risquez de galérer... :-D . On a d'ailleurs un phénomène intéressant qui illustre le fil shtam où j'évoque ça, car on montre $\forall x:blabla$ mais on ne s'en sert à la fin qu'avec $x:=a$.
***j'en mets une preuve en blanc: [small]supposant faux l'énoncé, $J$ est inclus dans la réunion des $T(a,y):=\{x\in J\mid
ay\neq 0$ et $xy=0\}$. Donc il y a $a\in J$ et $y\in A$ tel que tout idéal premier contenant $T(a,y)$ contient $J$ tout entier ce qui donne le résultat via le fait que $a\in \sqrt{T(a,y)}$[/small]
$$Annul(J) = Annul(a)$$
soit $A$ un anneau noethérien. Soit $P$ un idéal premier. On dira qu'il est bleuquand il existe $a$ tel que $a\notin P$ et $P$ est minimal parmi les idéaux qui $\supset Annul(a):=\{x\mid ax=0\}$.
Bleu est un ensemble FINI!
[small]Comme c'est court,j'en donne une preuve ANS: Soit $P$ unidéal bleu, non supposé standard a priori, associé à $v$ (qui idem n'est pas a priori standard).
Soit $Q$ son standardisé. Comme l'anneau est noethérien, $Q\subset P$. De plus $Q$ est premier. Si $Q$ n'est pas $P$ alors $Q$ ne contient pas $Annul(v)$ puisque $P$ est minimal ainsi. Soit $x$ tel que $vx=0$ et $x\notin Q$. Mais alors $v\in Q$, donc $v\in P$ contradiction. Il suit que $P=Q$ et donc que $P$ est standard[/small]
L'anneau ambiant n'est pas nommé, la notation $X\to Y$ signifie $\{x\mid \forall t\in X: tx\in Y\}$
La seule chose à comprendre est la suivante, le reste est juste de la rédaction: la noethérianité va faire que les idéaux
$$ X^n\to Y$$
vont croitre DONC stationner avec $n$.
Sans perte de généralité, je suppose les idéaux principaux et que $(X\to Y)=(X^2\to Y)$. L'objectif étant de prouver que
$$X^2\cap Y \subset (X\cap Y).X$$
Je suppose $(X,Y) = ((u),(v))$
Supposons $a:=xu^2 = yv$, on a $x\in (X^2\to Y)$, donc $x\in X\to Y$ donc $xu$ est de la forme $zv$ ce qui donne $a=zvu $ CQFD car $zv=xu\in X\cap Y$ et $u\in X$
Concernant $K:=$ l'intersection de $(a^n), n\in \N$, l'objectif est de montrer que tout élément de $K$ s'obtient en multipliant $a$ par un élément de $K$.
Sans perte de généralité, $(a)\to K = (a^2)\to K$ (noethérianité, remplacement de $a^n$ par $a$)
Pour un élément $xa^2$ de $K$, vous avez $x\in (a^2) \to K$, donc $x\in (a)\to K$, donc $xa\in K$ de sorte $xaa = (xa)a$ est bien le produit d'un élément de $K$ par $a$.
Je peux avoir l'air gonflé de ne pas le faire avec 2 générateurs, mais en fait, il y a une manière d'automatiser (qui est exactement celle que votre cerveau vous dit) sans plus d'inspiration.
Anneau quelconque, module $M$ et idéal $J$. Générateurs de $M: (e_1,..,e_9)$.
si $M\subset JM$ alors l'écriture de chaque $e_i$ comme combinaison des $u_je_j$ avec $u_j\in J$, mis sous forme d'une matrice va donner une matrice carrée telle qu'en notant $1-d$ son déterminant, on aura $dx=x$ pour tout $x\in M$ et $d\in J$
Autre façon :
$e_1 = u_1e_1+u_2e_2 + ..$ donne $(1-u_1)e_1 = u_2e_2+..$ et en inversant (sans avoir le droit :-D ) $1-u_1$, on obtient blabla. On recommance avec $e_2$, etc.
Une fois tout fini et en remultipliant par le produit des $(1+truc)$ qu'on avait inversé, on trouve $1-d$ avec $d\in J$ qui annule $M$.
Je signale que l'intégrité de l'anneau prend ici un sens vraiment marquant.
La définition "anneau dont tous les idéaux sont principaux" n'a pas été retenue et l'académisme a choisi "...et intègre". Le post de Rescassol le justifie peut-être.
Est-ce que quelqu'un sait pourquoi? (je ne l'ai pas lue, mais elle y est, j'ai vu que wikile prouve en assez peu de lignes, pour des lecteurs relativement habitués à lire des diagrammes commutatifs)
Je viens de lire ça sur wikipedia (enfin dans l'après midi), je trouve ça beau.
0/ A anneau commutatif artinien
1/ Tout idéal premier est maximal (regardez un $n$ tel que $x^n \in (x^{n+1})$ modulo $P$
2/ Il y a un nombre fini d'idéaux maximaux dont le produit est nul
3/ On peut donc $(\exists p)$ écrire $M^pT=(0)$ avec $M$ un idéal maximal et $T$ le produit des autres. De plus $M^p$ et $T$ sont premiers entre eux, donc il suffit de prouver que $A/M^p$ et $A/T$ sont noethériens, ce qui est évident si on a pris la plus petite longueur de produit nul d'idéaux maximaux (récurrence), sauf pour l'initialisation $A/M^p$
4/ La fin est triviale
Par contre, ça c'est pour "pas de suites décroissantes => Pas de suites croissantes".
La réciproque est fausse, mais elle est d'après le post précédent "un peu vraie". Hélas la preuve du lemme38 est "sale" (celles que je connais) car passe par un résultat beaucoup plus fort qui est que dans un noethérien, non seulement il n'y a pas de suite décroissante d'idéaux premiers, mais surtout que ce machin ne se prouve pas de manière pure, mais en regardant "concrètement" ce qu'il se passe (et là on trouve qu'aucun idéal premier ne peut être à la tête d'une suite finie décroissante plus longue que la cardinal d'une famille de générateurs quelle qu'elle soit).
Dans un anneau noethérien, il n'y a pas de suite descendante d'idéaux premiers car il n'y a tout simplement pas de possibilité d'avoir, pour deux idéaux premiers $P,Q$ :
1/ $P\subsetneq Q$
2/ $P$ a besoin au moins d'autant de générateurs que $Q$.
Je dessine pourquoi, étant suppose qu'on est dans un anneau noethérien "minimum à être exception au sans ou tout quotient strict vérifie la propriété.
Q: $e_1,e_2..,e_9$
P: $u_1,..,u_9$
Annulons $e_1$, regardons le quotient et remontons, quitte à renommer
Q: $e_1,..,e_9$
P: $ae_1,u_2..,u_9$
Comme P est premier, si $a\in P$, on aura une écriture:
$a(1-xe_1) = $ combi des $u_2,..$
J'inverse (ce qui fait de ce post un truc vraiment pas de matheux sérieux) $(1-x_1e_1)$ et obtiens une contradiction.
Moralité, je me suis ramené à :
Q: $e_1,..,e_9$
P: $e_1,u_2..,u_9$
Pis y a pu qu'à continuer :-D (Mais je déteste ce genre de procédé, mais je n'en ai trouvé aucun autre, donc aucun pur au sens "sans calcul".
Je n'ai pas suivi le fil (l'algèbre commutative, cela me gave parfois). Deux remarques quand même.
$\bullet$ A l'époque (= il y a quelques jours), j'avais constaté que ce que tu avais rapporté de Lam & Reyes (A Prime Ideal Principle in commutative algebra, Oka families ...etc..), ce n'était pas du tout cela. Pire, je crois me souvenir que ce tu avais écrit (peut-être à toute beurzingue ?) n'avait guère de sens.
Je n'ai pas vérifié (c'est pas bien) si tu avais modifié ton post. Je pense que tu vois de quel post il s'agit. Peut-être que tu pourrais le revisiter ?
$\bullet$ Plus intéressant. Eakin-Nagata (la même année, 1968) + la version non commutative de Eisenbud (1970) + le coup fortiche de Formanek en 1973 http://pdfs.semanticscholar.org/eeb6/309d92f662fe10a5d70dceaf9684094ef786.pdf (2 pages). Ce que je raconte, je le tiens de Matsumura (Commutative Ring Theory) et de Lam (Lectures on Modules and Rings).
$\blacktriangleright$ Pour comprendre, c'est bien de commencer par le truc de bébé suivant. Soit $M$ un $A$-module fidèle (faithful i.e. $\Ann(M) = 0$) qui est $n$-engendré : $M = Am_1 + \cdots + Am_n$. Alors $A$ se plonge dans $M^n$ via
$$
A \hookrightarrow M^n, \qquad \qquad a \mapsto (am_1, \cdots, am_n)
$$Du coup si $M$ est noethérien, il en est de même de $M^n$ donc de $A$. Ici, c'est un peu le monde à l'envers : c'est le module qui influe sur l'anneau.
$\blacktriangleright$ En 1973, Formanek passe derrière Eakin & Nagata pour lesquels le contexte consiste en deux anneaux $A \subset B$ ...etc.. Formanek dit que c'est plus mieux de remplacer $B$ par un $A$-module $M$ :
.. observation that much of that proof disappears if one is not "handicapped" by the hypothesis that $B$ is a ring. ...
Voici son énoncé : $M$ un $A$-module fidèle de type fini tel que l'ensemble $\{IM \mid I \text{ idéal de } A\}$ de sous-modules de $M$ soit noethérien pour l'inclusion. Alors $M$ est noethérien et donc d'après le truc de bébé, $A$ est noethérien.
Il faut noter que l'on passe de sous-modules très spéciaux de la forme $IM$ à des sous-modules quelconques de $M$.
Et ensuite, en faisant $M = B$ anneau (commutatif) et en prenant le contexte de Eakin-Nagata, leur résultat tombe tout seul.
Bref, le truc fortiche (pour mézigue) en commutatif, c'est Formanek.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2169060,2170944#msg-2170944
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2169628
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2173344,page=26#msg-2173344