Une récurrence sur une famille de vecteurs
Bonjour,
voici le contexte de l'exercice qui me pose problème :
$E$ est un $\mathbb K$-ev de dimension finie $n\ge 2$.
$x$ est un vecteur non nul de $E$
$k$ est le plus grand entier tel que la famille $\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$ soit libre
On me suggère de montrer par récurrence que $\forall p\ge k, u^p(x)\in vect\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$.
J'ai du mal à identifier sur qui est-ce qu'on fait la récurrence. Est-ce $\mathcal{P}(p)$ ou $\mathcal{P}(k)$ ?
Je pense qu'il faut "faire varier p" en l'initialisant à k, mais sans certitude.
Pouvez-vous m'aiguiller ?
D'avance merci !
voici le contexte de l'exercice qui me pose problème :
$E$ est un $\mathbb K$-ev de dimension finie $n\ge 2$.
$x$ est un vecteur non nul de $E$
$k$ est le plus grand entier tel que la famille $\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$ soit libre
On me suggère de montrer par récurrence que $\forall p\ge k, u^p(x)\in vect\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$.
J'ai du mal à identifier sur qui est-ce qu'on fait la récurrence. Est-ce $\mathcal{P}(p)$ ou $\mathcal{P}(k)$ ?
Je pense qu'il faut "faire varier p" en l'initialisant à k, mais sans certitude.
Pouvez-vous m'aiguiller ?
D'avance merci !
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Réponses
Benh...évidemment!
Tout d'abord, l'on te précise ceci : $k$ est le plus grand entier tel que la famille $\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$ soit libre. Ensuite, tu remarqueras que le scopage universel porte sur la variable $p$ et en aucun cas sur $k$, ce dernier étant un terme bien défini, comme on l'a constaté précédemment. La conclusion s'impose donc d'elle-même : la récurrence porte donc sur la variable ...
Bonne nuit !
Si on montre son existence, le $k$ est unique donc il ne varie pas.
On te demande de montrer quelque chose pour tout $p$, pas l'existence de $k$.
Tu as toujours autant de mal avec la logique élémentaire et les quantificateurs.
Cordialement,
Rescassol
oui, j'essaye d'y remédier en travaillant ce point, ce n'est pas facile !
Pour simplifier la rédaction, je vais noter $G=vect\{x,u(x),...u^{k-1}(x)\}$
La proposition est vraie à $p=0$ puisque $u^0(x)=x\in G$.
En fait, elle l'est des rangs $p=0$ à $p=k-1$.
Au rang $p\ge k$ :
Par définition de $k$, on peut affirmer que la famille $\{x,u(x),...u^{k-1}(x),u^k(x)\}$ est liée. Il existe donc des scalaires $a_0,\cdots,a_{k-1}$ tels que $u^k(x)=\sum_{i=0}^{k-1}a_iu^i(x)$.
En prenant l'image par $u^{p+1-k}$, il découle que $u^{p+1}(x)=\sum_{i=0}^{k-1}a_iu^{p+1-k+i}(x)$.
Puisque $i\le k-1$ alors $p+1-k+i\le p+1-k+k-1=p$.
Donc $u^{p+1-k+i}(x)\in G$ par hypothèse de récurrence.
On en déduit alors que $\sum_{i=0}^{k-1}a_iu^{p+1-k+i}(x)\in G$, soit $u^{p+1}(x)\in G$.
La récurrence est établie.
Qu'en pensez-vous ?
J'en pense que "par hypothèse de récurrence" n'est pas clair, tu n'as jamais explicité quelle hypothèse tu emploies. La seule qui apparaît dans l'énoncé est $ u^p(x)\in vect\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$, qui ne sert pas ici.
Si le fait de commencer la récurrence à k te gène, pose $p=k+n$ et fais la récurrence sur n : présentation de l'hypothèse de récurrence, cas $n=0$, puis preuve que l'hypothèse pour n prouve l'hypothèse pour n+1. Ce n'est que lorsqu'on maîtrise bien la récurrence et que dans le cas d'espèce elle est claire, qu'on peut se permettre de sortir du schéma classique.
Cordialement.
Je pense qu'il est commode de prendre l'habitude de bien préciser les choses :
Montrons par récurrence sur ... que ...
Comme cela tu auras sous les yeux ce qui varie et où cela commence.
Cordialement
Notons $\mathcal P$ la propriété définie sur $[|k,+\infty |[$ par :
$\mathcal P(d)$ : " $\forall x \in E \backslash \{0 \} \ u^p(x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))$"
$\mathcal P(k)$ est vraie car la famille $(x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x),u^k (x))$ est libre donc $\boxed{u^k (x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))}$.
Montrons que $\mathcal P(d) \implies \mathcal P(d+1)$.
Soit $x \in E$ non nul et soit $\mathcal P(d)$ vraie.
$u^{p+1}(x)=u(u^p(x))$.
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des scalaires $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq k-1}$ tels que $u^p(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^ {k-1} \lambda_i u^i (x)$
Ainsi $u^{p+1}(x)=u(u^p(x))=\displaystyle\sum_{i=0}^ {k-1} \lambda_i u^{i+1} (x)=\displaystyle\sum_{j=1}^ {k} \lambda_{j-1} u^{j} (x)$
Donc $u^{p+1}(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^ {k-1} \lambda_{j-1} u^{j} (x)+\lambda_{k-1}u^k(x)$
Mais $u_k (x)= \displaystyle\sum_{p=0}^{k-1} \beta_p u^{p}(x)$ par définition de l'entier $k$.
Donc $u^{p+1}(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^ {k-1} \lambda_{j-1} u^{j} (x)+\lambda_{k-1} \displaystyle\sum_{p=0}^{k-1} \beta_p u^{p}(x)$
Finalement $\boxed{u^{p+1}(x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))}$
Donc $\mathcal P(d+1)$ est vraie.
$\mathcal P(d)$ ne dépend pas de $d$ !! "$\forall x \in E \backslash \{0 \} \ u^p(x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))$" mais il y a un $p$ inconnu.
Et par copier/coller ça continue ...