Une récurrence sur une famille de vecteurs

Bonsoir,

Tout d'abord, l'on te précise ceci : $k$ est le plus grand entier tel que la famille $\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$ soit libre. Ensuite, tu remarqueras que le scopage universel porte sur la variable $p$ et en aucun cas sur $k$, ce dernier étant un terme bien défini, comme on l'a constaté précédemment. La conclusion s'impose donc d'elle-même : la récurrence porte donc sur la variable ...

Bonne nuit !

$k= \sup \{ l \in \N^{*} \ \ (x,u(x),\cdots, u^{l-1}(x)) \ \text{est libre} \}$

Si on montre son existence, le $k$ est unique donc il ne varie pas.

Bonjour,

On te demande de montrer quelque chose pour tout $p$, pas l'existence de $k$.
Tu as toujours autant de mal avec la logique élémentaire et les quantificateurs.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour.

J'en pense que "par hypothèse de récurrence" n'est pas clair, tu n'as jamais explicité quelle hypothèse tu emploies. La seule qui apparaît dans l'énoncé est $ u^p(x)\in vect\{x,u(x),\cdots,u^{k-1}(x)\}$, qui ne sert pas ici.

Si le fait de commencer la récurrence à k te gène, pose $p=k+n$ et fais la récurrence sur n : présentation de l'hypothèse de récurrence, cas $n=0$, puis preuve que l'hypothèse pour n prouve l'hypothèse pour n+1. Ce n'est que lorsqu'on maîtrise bien la récurrence et que dans le cas d'espèce elle est claire, qu'on peut se permettre de sortir du schéma classique.

Cordialement.

Je propose comme rédaction.

Notons $\mathcal P$ la propriété définie sur $[|k,+\infty |[$ par :
$\mathcal P(d)$ : " $\forall x \in E \backslash \{0 \} \ u^p(x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))$"
$\mathcal P(k)$ est vraie car la famille $(x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x),u^k (x))$ est libre donc $\boxed{u^k (x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))}$.
Montrons que $\mathcal P(d) \implies \mathcal P(d+1)$.
Soit $x \in E$ non nul et soit $\mathcal P(d)$ vraie.
$u^{p+1}(x)=u(u^p(x))$.
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des scalaires $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq k-1}$ tels que $u^p(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^ {k-1} \lambda_i u^i (x)$
Ainsi $u^{p+1}(x)=u(u^p(x))=\displaystyle\sum_{i=0}^ {k-1} \lambda_i u^{i+1} (x)=\displaystyle\sum_{j=1}^ {k} \lambda_{j-1} u^{j} (x)$
Donc $u^{p+1}(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^ {k-1} \lambda_{j-1} u^{j} (x)+\lambda_{k-1}u^k(x)$
Mais $u_k (x)= \displaystyle\sum_{p=0}^{k-1} \beta_p u^{p}(x)$ par définition de l'entier $k$.
Donc $u^{p+1}(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^ {k-1} \lambda_{j-1} u^{j} (x)+\lambda_{k-1} \displaystyle\sum_{p=0}^{k-1} \beta_p u^{p}(x)$
Finalement $\boxed{u^{p+1}(x) \in Vect (x,u(x), \cdots, u^{k-1}(x))}$
Donc $\mathcal P(d+1)$ est vraie.