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dans Algèbre
Histoire de ne pas le garder pour moi, je partage une astuce que j'ai dû retrouver quand j'ai reprouvé un truc que j'avais posté sur HAL sans détailler. C'est assez édifiant.
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire dans lequel il y a un "gros" ensemble $E$, bien ordonné, vérifiant $\forall x,y: x<y\to xy=x$. C'est une situation typique quand un anneau possède un "gros" indice de noethérianité (ie de longues séquences ordinales strictement croissantes d'idéaux)
Les idéaux $a\in E\mapsto (a)$ croissent strictement.
Notons pour un couple $a<b$, $a:=1-u$ et $b:=1-v$ et d'une manière générale $u(a)$ tel que $a=1-u(a)$
Alors $(1-u)(1-v) = 1-u$ fait que $v=uv$. Et avec ça, on a la famille di'déaux maintenant indicée par le même ordinal $u\mapsto (u(a))$ qui est DECROISSANTE pour l'inclusion et ça casse l'artinianité de l'anneau. Et ça marche dans les deux sens, le tout évidemment étant de se ramener à cette situation.
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire dans lequel il y a un "gros" ensemble $E$, bien ordonné, vérifiant $\forall x,y: x<y\to xy=x$. C'est une situation typique quand un anneau possède un "gros" indice de noethérianité (ie de longues séquences ordinales strictement croissantes d'idéaux)
Les idéaux $a\in E\mapsto (a)$ croissent strictement.
Notons pour un couple $a<b$, $a:=1-u$ et $b:=1-v$ et d'une manière générale $u(a)$ tel que $a=1-u(a)$
Alors $(1-u)(1-v) = 1-u$ fait que $v=uv$. Et avec ça, on a la famille di'déaux maintenant indicée par le même ordinal $u\mapsto (u(a))$ qui est DECROISSANTE pour l'inclusion et ça casse l'artinianité de l'anneau. Et ça marche dans les deux sens, le tout évidemment étant de se ramener à cette situation.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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