Symétrie en caractéristique $2$
Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. Soit $s$ une symétrie de $E$ i.e. $s^2=\mathrm{Id}_E$.
Lorsque $\K$ n'est pas de caractéristique $2$, cela signifie aussi $E=\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id}_E)\oplus\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id}_E)$.
Mais que se passe-t-il si $\K$ est de caractéristique $2$ ? J'ai lu que $s=\mathrm{Id}_E$ mais je n'arrive pas à le montrer. Sachant que j'ai essayé d'utiliser : $\forall x\in E\quad x=-x$.
Lorsque $\K$ n'est pas de caractéristique $2$, cela signifie aussi $E=\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id}_E)\oplus\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id}_E)$.
Mais que se passe-t-il si $\K$ est de caractéristique $2$ ? J'ai lu que $s=\mathrm{Id}_E$ mais je n'arrive pas à le montrer. Sachant que j'ai essayé d'utiliser : $\forall x\in E\quad x=-x$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$s^2=id$
donc : $s^2-id=0$
donc : $(s-id)(s+id)=0$
donc : $s=id$ ou $s=-id$ 8-)
Mais quid après ?
@Dom : $(\mathcal L(E),\circ)$ n'est en général pas intègre.
Je savais bien que je roulais sur la jante :-)
Comment est-ce possible ? Au premier abord, c'est évident : $X-1=X+1$ donc bien sûr, ils ne sont pas premiers entre eux. Pourtant, on savait démontrer qu'ils le sont – sur $\R$ ou $\Q$, disons : qu'est-ce qui fait que la démonstration devient fausse ?
Ça prouve qu’au réveil il faut faire gaffe (vous remarquerez la fâcheuse habitude de se trouver des excuses, ça ne m’honore pas...)
Attention, ce qui suit est n’importe quoi :
J’ai pensé à tort :
$(s-id)(s+id)=0$
signifie $\forall x\in K$, $(s(x) -x))(s(x) +x)=0$
et même (« évidemment ») que $s(x)$ était un élément du corps.
Les urgences ne sont pas loin...
Je tenais à faire ce coming out, car ici, on est en famille. Personne d’autre ne le saura.
Ce que j’écrivais est valable lorsque $E=K$, piètre consolation.
J’ai démontré que l’équation $u^2=1$ d’inconnue $u$ dans $K$ admet une seule solution.
Amicalement
Sur $\R$ ou sur $\Q$, on montre que $X-1$ et $X+1$ sont premiers entre eux par la relation \[\frac{\frac12}{X-1}-\frac{\frac12}{X+1}=1.\]Cette relation n'a pas de sens en caractéristique $2$.
Quant à la diagonalisabilité de $s$ telle que $s^2=\mathrm{id}$, c'est à déterminer selon que $s=\mathrm{id}$ ou pas. En effet, $(s-\mathrm{id})^2=0$ et le seul endomorphisme nilpotent et diagonalisable est l'endomorphisme nul (en toute caractéristique).
En caractéristique $2$, $s^2 = Id_E$ équivaut à $(s-Id_E)^2 = 0$, i.e $s = Id_E + n$ avec $n$ nilpotent d'indice $2$. On en déduit que si $s\neq I_dE$, alors $s$ n'est pas diagonalisable.
Au final, une symétrie $s$ (i.e. un endomorphisme involutif) d'un $\K$-espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si :
$$[\mathrm{car}(\K)\neq 2\text{ ou }(\mathrm{car}(\K)=2\text{ et }s=\mathrm{Id}_E)].$$
[small][small]Précaution qu'on voit assez rarement dans les cours de réduction.[/small][/small]