Symétrie en caractéristique $2$

topopot · January 2021

Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. Soit $s$ une symétrie de $E$ i.e. $s^2=\mathrm{Id}_E$.
Lorsque $\K$ n'est pas de caractéristique $2$, cela signifie aussi $E=\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id}_E)\oplus\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id}_E)$.

Mais que se passe-t-il si $\K$ est de caractéristique $2$ ? J'ai lu que $s=\mathrm{Id}_E$ mais je n'arrive pas à le montrer. Sachant que j'ai essayé d'utiliser : $\forall x\in E\quad x=-x$.

Guego · January 2021

C'est faux. Prends $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Alors $A^2 = I$ dans $\Z/2\Z$.

Dom · January 2021

Je tente.

$s^2=id$

donc : $s^2-id=0$
donc : $(s-id)(s+id)=0$
donc : $s=id$ ou $s=-id$ 8-)

Mais quid après ?

topopot · January 2021

En effet. Il y a un truc particulier à dire toutefois concernant $s$ si $\K$ est de caractéristique $2$ ?

@Dom : $(\mathcal L(E),\circ)$ n'est en général pas intègre.

Dom · January 2021

Ha oui. Je raisonnais en terme de corps lui-même.
Je savais bien que je roulais sur la jante :-)

Math Coss · January 2021

C'est intéressant de comprendre pourquoi Dom s'est fait piéger. Le lemme des noyaux est vrai en toute caractéristique, ce qui devient faux c'est que $X-1$ et $X+1$ ne sont plus premiers entre eux en caractéristique $2$.

Comment est-ce possible ? Au premier abord, c'est évident : $X-1=X+1$ donc bien sûr, ils ne sont pas premiers entre eux. Pourtant, on savait démontrer qu'ils le sont – sur $\R$ ou $\Q$, disons : qu'est-ce qui fait que la démonstration devient fausse ?

Dom · January 2021

J’ajoute même à ma bêtise précédente un autre bêtise.
Ça prouve qu’au réveil il faut faire gaffe (vous remarquerez la fâcheuse habitude de se trouver des excuses, ça ne m’honore pas...)

Attention, ce qui suit est n’importe quoi :

J’ai pensé à tort :
$(s-id)(s+id)=0$
signifie $\forall x\in K$, $(s(x) -x))(s(x) +x)=0$
et même (« évidemment ») que $s(x)$ était un élément du corps.

Les urgences ne sont pas loin...

Je tenais à faire ce coming out, car ici, on est en famille. Personne d’autre ne le saura.

Ce que j’écrivais est valable lorsque $E=K$, piètre consolation.
J’ai démontré que l’équation $u^2=1$ d’inconnue $u$ dans $K$ admet une seule solution.

Maxtimax · January 2021

Dom : ta dernière ligne est un peu plus qu'une piètre consolation, puisqu'elle nous dit exactement qui sont les valeurs propres d'une symétrie, et donc quelle forme $s$ doit avoir

Dom · January 2021

Ha ! Maxtimax je te remercie, tu parviens à sauver mon intervention ;-)

Amicalement

topopot · January 2021

En caractéristique $2$, que dire de la diagonalisabilité de $s\in\mathcal L(E)$ vérifiant $s^2=\mathrm{Id}_E$ ?

Math Coss · January 2021

Tout le monde se fiche de ma question alors j'y réponds tout seul comme un grand.
Sur $\R$ ou sur $\Q$, on montre que $X-1$ et $X+1$ sont premiers entre eux par la relation \[\frac{\frac12}{X-1}-\frac{\frac12}{X+1}=1.\]Cette relation n'a pas de sens en caractéristique $2$.

Quant à la diagonalisabilité de $s$ telle que $s^2=\mathrm{id}$, c'est à déterminer selon que $s=\mathrm{id}$ ou pas. En effet, $(s-\mathrm{id})^2=0$ et le seul endomorphisme nilpotent et diagonalisable est l'endomorphisme nul (en toute caractéristique).

Riemann_lapins_cretins · January 2021

J'allais répondre que les polynômes ont une relation de Bezout évidente sur R ou Q qui s'envole puisque 2 n'est plus un inversible

Guego · January 2021

topopot a écrit:

En caractéristique 2, que dire de la diagonalisabilité de $s\in L(E)$ vérifiant $s^2=Id_E$ ?

En caractéristique $2$, $s^2 = Id_E$ équivaut à $(s-Id_E)^2 = 0$, i.e $s = Id_E + n$ avec $n$ nilpotent d'indice $2$. On en déduit que si $s\neq I_dE$, alors $s$ n'est pas diagonalisable.

topopot · January 2021

Merci Math Coss et Guego !

Au final, une symétrie $s$ (i.e. un endomorphisme involutif) d'un $\K$-espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si :
$$[\mathrm{car}(\K)\neq 2\text{ ou }(\mathrm{car}(\K)=2\text{ et }s=\mathrm{Id}_E)].$$

[small][small]Précaution qu'on voit assez rarement dans les cours de réduction.[/small][/small]