Formules formelles idéaux
dans Algèbre
J'ouvre un nouveau fil pour cette question qui sera numérotée dans "il est facile de"
Soient une suite $e\in V$, $V$ étant un univers (un ensemble inaccessible).
On s'intéresse aux anneau noethériens (commutatifs et unitaires) $A$ tels que $e\subset A$.
On peut associer à chaque ensemble un idéal de $A$, noté $\sigma(e,A)(X)$ comme suit avec $\phi:=\sigma(e,A)$:
1/ $\phi((X,Y)) := \phi(X)\to \phi(Y)$
2/ si $X$ est un entier $\phi(X)=(e_X)$
3/ sinon $\phi(X):=$ l'intersection des idéaux $\phi(y)$ quand $y$ parcourt $X$.
En soi, donc on peut voir les ensembles comme des formules et le fait de préciser le couple $(e,A)$ leur attribue une valeur.
Il se trouve que** pour tout anneau noethérien $A$ et toute suite $e$, $card(\{\sigma(e,A)(X) \mid X\in V\})$ est petit (je crois qu'il ne peut pas dépasser $\R$ ou à la rigueur $P(\R)$).
On fixe $e$.
J'aimerais savoir si par contre $$card( \{ [A\mapsto \sigma(e,A)(X) ] \mid X\in V \} )$$ peut devenir très grand?
A priori ça parait possible, mais ce n'est pas très clair dans ma tête. Pour la rigueur, j'ai pris des ensembles, mais tout le monde aura compris que l'objectif est d'avoir une définition formelle de "formule" englobant intersections infinies non limitées. (On peut ajouter la somme d'idéaux, puisque certes, ce n'est pas nécessaire pour chaque anneau, mais ça le devient pour les formules abstraites)
Rappel: je note $I\to J$ l'ensemble des $x$ tels que $\forall y\in I: xy\in J$
** cela résulte du fait que toute intersection d'idéaux est une intersection de sous-famille de cardinal petit ($\N$ ou $\R$, max, je pense) dans un anneau noethérien.
Soient une suite $e\in V$, $V$ étant un univers (un ensemble inaccessible).
On s'intéresse aux anneau noethériens (commutatifs et unitaires) $A$ tels que $e\subset A$.
On peut associer à chaque ensemble un idéal de $A$, noté $\sigma(e,A)(X)$ comme suit avec $\phi:=\sigma(e,A)$:
1/ $\phi((X,Y)) := \phi(X)\to \phi(Y)$
2/ si $X$ est un entier $\phi(X)=(e_X)$
3/ sinon $\phi(X):=$ l'intersection des idéaux $\phi(y)$ quand $y$ parcourt $X$.
En soi, donc on peut voir les ensembles comme des formules et le fait de préciser le couple $(e,A)$ leur attribue une valeur.
Il se trouve que** pour tout anneau noethérien $A$ et toute suite $e$, $card(\{\sigma(e,A)(X) \mid X\in V\})$ est petit (je crois qu'il ne peut pas dépasser $\R$ ou à la rigueur $P(\R)$).
On fixe $e$.
J'aimerais savoir si par contre $$card( \{ [A\mapsto \sigma(e,A)(X) ] \mid X\in V \} )$$ peut devenir très grand?
A priori ça parait possible, mais ce n'est pas très clair dans ma tête. Pour la rigueur, j'ai pris des ensembles, mais tout le monde aura compris que l'objectif est d'avoir une définition formelle de "formule" englobant intersections infinies non limitées. (On peut ajouter la somme d'idéaux, puisque certes, ce n'est pas nécessaire pour chaque anneau, mais ça le devient pour les formules abstraites)
Rappel: je note $I\to J$ l'ensemble des $x$ tels que $\forall y\in I: xy\in J$
** cela résulte du fait que toute intersection d'idéaux est une intersection de sous-famille de cardinal petit ($\N$ ou $\R$, max, je pense) dans un anneau noethérien.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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J'ai référencé la question comme la numéro 1120, ici --> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2161276,page=26#msg-2161276Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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C'est quoi un ensemble inaccessible?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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$V$ est inacessible signifie:
1/ $V\subset P(V)$
2/ Pour tout $x\in V: P(x)\in V$
3/ Pour tout $x\subset V$, si $x\notin V$ alors il y a une surjection de $x$ sur $V$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Dans le système d'axiomes de la théorie ZF (pour Zermelo-Fraenkel) des ensembles 3) peut être remplacé par
3') $\forall x \subset V$ si $x \notin V$ et s'il existe une surjection de $x$ sur $V$ alors il existe une injection de $x$ dans $V$ et une injection de $V$ dans $x$ qui est alors équipotent à V d'après la version du théorème de Cantor-Bernstein quand l'axiome du choix utilisé est l'axiome du choix dépendant. Dans cette théorie des ensembles V est accessible si ZF avec axiome du choix .dépendant.n'est pas contradictoire. Et si je ne raconte pas de bêtise ZF avec axiome du choix .dépendant est appelé le modèle intérieur de la théorie des ensembles.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré -
Euu, non tu te trompes.
1/ Dans ZF, on ne peut pas supposer qu'il existe un tel $V$. Même si ZF est consitante, on n'a pas de garantie que $ZF + \exists V$ l'est
2/ L'axiome du choix est peu concerné. J'ai "oppotunistement" mis la version qui l'entraine dans $V$, vu le fil, c'est tout, mais la version plus classique serait :
Pour tout $a\subset V,\ b\in V$ s'il existe une surjection de $b$ sur $a$ alors $a\in V$. C'était juste plus long à écrire et n'entrainait pas l'axiome du choix donc j'ai raccourci et gagné AC au passage
3/ L'axiome du choix dépendant n'a rien à voir avec cette histoire [small](il dit juste que si $\forall x\exists y: (x,y)\in R$ alors il existe une suite $u$ telle que $\forall n: (u_n,u_{n+1})\in R$ )[/small]
4/ "Théoriquement" il n'est pas trivial que $V$ va s'injecter dans un $x$ tel que $x$ se surjecte sur $V$ et donc CB ne sera pas utilisable immédiatement. Sauf si bien entendu tu admets l'axiome du choix
Rien à voir: je pense que cette conjecture est vraie au sens où on peut la déduire de grands cardinaux.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
AlainLyon a écrit:Et si je ne raconte pas de bêtise ZF avec axiome du choix .dépendant est appelé le modèle intérieur de la théorie des ensembles.
Tu dis une belle bêtise. D'un côté tu parles d'une théorie, un ensemble de formules, de l'autre tu parles d'un modèle. Ces deux choses ne "vivent pas au même niveau". Ce qu'on appelle modèle intérieur d'un modèle $V$ de $\mathsf{ZF}$ c'est plutôt une classe transitive $M$ modèle de $\mathsf{ZF}$ pour $\varepsilon_{\mid M}$ et qui possède les mêmes ordinaux que $V$. Et au passage, l'axiome du choix dépendant est complètement indépendant de $\mathsf{ZF}$. -
ZF sans choix permet-il qu'existe les mathématiques?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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On n'a pas attendu $\mathsf{ZF}$, avec ou sans choix, pour faire des maths !
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Si une théorie est consistante et qu'on lui retire des axiomes, la théorie obtenue sera a fortiori consistante (puisqu'on retire en fait des exigences).AlainLyon a écrit:ZF sans choix permet-il qu'existe les mathématiques?
Par contre certaines constructions sont moins pratiques.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Oulala, les mathématiques contredisant violemment*** l'axiome du choix sont belles et productives Alain!!! Tu n'imagines même pas.
Adopter l'axiome du choix c'est adopter "quasiment" seulement de petits univers qui se comportent comme un ensemble dénombrable. C'est pratique car ça algébrise l'analyse, mais c'est une vision platonicienne assez handicapante. Si tu tires au hasard des réels $x_\alpha$ pour chaque ordinal $\alpha$, tu obtiens une fonction injective de ON dans $\R$ (via des arguments extrêmement peu contestables) et adopter un univers vérifiant AC, c'est vraiment demander de n'avoir mis dans cet univers que de gentils réels qui avaient une vocation "méritée" d'y être acceptés.
Bref, ça te prive de certaines visions intéressantes.
*** en l'absence de l'axiome du choix, tu peux admettre qu'il existe une partie $A$ de $\R$, à la fois de mesure nulle et maigre, en dehors de laquelle toute partie $P$ que tu définis (AVEC LE DROIT D'UTILISER $A$ dans la définition) coincide avec une intersection $D$ dénombrable d'ouverts (ie $\forall x\notin A: P(x)=D(x)$)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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