L'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt 2]$

Bonsoir, je bloque sur quelques questions d'un problème dont voici l'énoncé.

On se place dans l'anneau $\Z[\sqrt 2]$ noté $(A,+,*)$ défini par $A=\{a+b\sqrt2\mid (a,b)\in \mathbb{Z}^2\}$.
On note $\bar{z}=a-b\sqrt2$ et $N(z)=z\bar{z}$.
1) Soit $z\in A$. Montrer que pour tout $\epsilon>0 $, il existe $x\in\mathbb{R},\ |x-z|\leq\epsilon$.
2) Montrer que $z$ est inversible si et seulement $N(z)=\pm1$.
3) On suppose $a\geq0$ et $b\geq0$. Montrer que $z\geq1$.
On suppose $a\leq0$ et $b\leq0$.Montrer que $z\leq-1$.
On suppose $ab\leq0$. Que dire de $\bar{z}$, en déduire que $|z|\leq1$.
On note $U^+=\{z\in A\mid z>1,\ N(z)=1\}.$
4) Soit $z\in A$. Montrer que $a>0$ et $b>0$.
5) Montrer que $U^+$ possède un plus petit élément que l'on calculera explicitement.

1) Il faut montrer que $A$ est dense dans $\mathbb R$, j'ai réussi à montrer que pour tous $x,y$ appartenant à $\mathbb R$ tels que $x<y$, il existe $z$ appartenant à $A$ tel que $x<z<y$, avec la propriété d'Archimède. Les 2 propriétés sont équivalentes mais j'ai une fonction python à écrire à propos de cette question et il me faut démontrer la propriété de l'énoncé pour l'écrire mais je ne vois pas ...
2) En utilisant la définition de l'élément inversible pour $+$, je ne sais pas comment aboutir.
3)4)5) Je bloque sur ces questions, je ne vois pas comment procéder.

Il y a d'ailleurs sûrement un parallèle à tirer de cet anneau avec $(\C,+,*)$, $(\R,+,*)$ ou des propriétés sur ses éléments inversibles donc vu le niveau mathématique des personnes de ce forum si quelqu'un pouvait étendre ma culture mathématique, ça serait avec plaisir.
Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre.

[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]