Distributivité $\cap\sum$ (espace vectoriel)
Soient $u$ un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$, ce qui permet de considérer $u_F$, l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$. On note $(E_{\lambda}(u))_{\lambda\in\K}$ la famille des sous-espaces propres de $u$, dont on sait qu'elle est en somme directe. Si on note $(F_{\lambda}(u_F))_{\lambda\in\K}$ la famille des sous-espaces propres de $u_F$ (qui est aussi en somme directe), on a : $\forall\lambda\in\K\quad F_{\lambda}(u_F)=F\cap E_{\lambda}(u)$.
Visiblement, on a :
$$F\bigcap\sum_{\lambda\in\K}E_{\lambda}(u)=\sum_{\lambda\in\K}(F\cap E_{\lambda}(u)).
$$ L'inclusion $(\supset)$ est facile, mais j'ai du mal à voir l'autre $(\subset)$.
Pour information, j'ai essayé en vain d'appliquer le lemme des noyaux à $u_F$. Donc j'ai ensuite essayé de le faire élémentairement mais je n'arrive pas à conclure.
Soit $x\in F\bigcap\sum_{\lambda\in\K}E_{\lambda}(u)$. Il existe une famille presque nulle $(x_{\lambda})_{\lambda\in\K}\in\prod_{\lambda\in\K}E_{\lambda}(u)$ telle que $x=\sum_{\lambda\in\K}x_{\lambda}$. Il s'agit de montrer que pour tout $\lambda\in\K,\ x_\lambda\in F$. Mais je n'y arrive pas, même en utilisant $u(x)=\sum_{\lambda\in\K}\lambda x_{\lambda}\in F$ (car $F$ est stable par $u$).
Visiblement, on a :
$$F\bigcap\sum_{\lambda\in\K}E_{\lambda}(u)=\sum_{\lambda\in\K}(F\cap E_{\lambda}(u)).
$$ L'inclusion $(\supset)$ est facile, mais j'ai du mal à voir l'autre $(\subset)$.
Pour information, j'ai essayé en vain d'appliquer le lemme des noyaux à $u_F$. Donc j'ai ensuite essayé de le faire élémentairement mais je n'arrive pas à conclure.
Soit $x\in F\bigcap\sum_{\lambda\in\K}E_{\lambda}(u)$. Il existe une famille presque nulle $(x_{\lambda})_{\lambda\in\K}\in\prod_{\lambda\in\K}E_{\lambda}(u)$ telle que $x=\sum_{\lambda\in\K}x_{\lambda}$. Il s'agit de montrer que pour tout $\lambda\in\K,\ x_\lambda\in F$. Mais je n'y arrive pas, même en utilisant $u(x)=\sum_{\lambda\in\K}\lambda x_{\lambda}\in F$ (car $F$ est stable par $u$).
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Réponses
Autrement, ce que tu peux faire d'un peu plus rudimemtaire, c'est restreindre $u$ à la somme des espaces propres. Sur cette somme, $u$ est diagonalisable, donc il a un polynôme annulateur scindé à racines simples.
En particulier, la restriction à l'intersection de cette somme avec $F$ a aussi un tel polynôme annulateur, et est donc tout autant diagonalisable. À partir de là....
que vaut un élément de $F\cap\sum_{\lambda\in K}E_\lambda(u)$ et que vaut un élément de
$\sum_{\lambda\in K}\left(F\cap E_\lambda(u)\right)$?
Probablement parce que tu as le secret espoir que ça va être "vrai purement". Hélas, ce qui est prouvable en dimension finie l'est souvent PAR RECCURRENCE seulement (enfin par des axiomes qui sont aussi puissants), sinon, ça voudrait dire que ton truc est vrai "en toute dimension" ce qui est très fort.
Dans ce genre de situation, ce qu'il se passe statistiquement pour ce genre de preuve est qu'elles sont ramenées à DEUX idems et non une somme sur un nombre indéterminée de termes, dont on a tendance à oublier qu'elle est finie.
Et malheureusement une récurrence sur le nombre de termes de la somme est peu envisageable puisque $E_\lambda \oplus E_\mu$ n'est pas de la forme souhaitée.
Oui, mais ce que je disais voulait inclure la situation où tu prouves un truc par récurrence PUIS remarque que la notion infinitiste s'y ramène évidemment
En fait, je ne voulais pas spoiler, mais lui suggérer que la remarque que
si $u+v\in F$ et $au+bv\in F$ alors $(b-a)v\in F$, donc $v\in F$, donc $u\in F$
méritait une exploration, éventuellement menant à impasse.
[small]Je donne une "preuve". Je pose $v=f(u)$, $u:=u_1+..$
Pour un certain $x$, tu as que $u-xv \in (E_2+..) \cap F = \sum (E_i\cap F)$ et donc que $u$ s'écrit :
$$xv + s_2+s_3+..$$
avec $s_i\in E_i\cap F$
qui est bien de la forme truc dans $F\cap E_1$
J'ai probablement fait une erreur (je ne veux pas me laisser happer et consacrer trop de temps ça (âge avancé, on ne progresse plus au ski) mais sinon, je ne vois pas trop en quoi ce n'est pas "une récurrence" Max?[/small]
Cela dit, je vais y réfléchir un peu, car je pense que ça marche, mais en le faisant deux fois et non une (ie la preuve donne deux sommes issues de l'hypothèse de récurrence, qui additionnées, donnent ce qu'il faut, mais là je sors et surtout ma motivation reste modérée d'aller me fourvoyer dans un truc dont il y a un risque qu'il ne marchera pas.
C'est supposé vrai en remplaçant F par F+E1. (inutile -->) Il suffit ensuite de remplacer l'espace entier par E1 seul
[size=x-small]De retour sur mon pc, je rédige proprement par respect pour les gens que j'ai dérangés.
X:= u_1+..+u_9\in F\cap (E_1+..+E_9) les u_i\in E_i est un contre-exemple où on a choisi F ayant la plus grande dimension possible dans un espace ambiant ayant la plus petite dimension possible, pris avant.
On peut donc supposer sans perte de généralité que chaque u_i est dans E_i\cap (F+E_1) .
Il suit que X s'écrit Y+Z comme une somme de a_i+b_i où a_i\in E_i\cap F et b_i\in E_i\cap E_1 .
Sans perte de généralité, on a donc chaque u_i dans E_1\cap E_i
Comme dim(E_1)<dim(E) , le lemme est vrai avec F\cap E_1 à la place de F et E_1 à la place de E et c'est terminé.[/size]
[size=x-small]Pardon, j'ai oublié les initialisations, il ne faudrait pas que je donne l'impression de ne pas me servir de toutes les hypothèses :-D
- Quand F=E , il n'y a rien à faire, et plus généralement quand F contient tous les E_i .
- Il n'y a rien à faire non plus quand l'un des E_i est l'espace entier
- E_1 est stable par f
- F est est stable par f
u+v\in E_4\cap (F+E_1) que j'ai prétendu être inclus dans (E_4\cap F)+(E_1\cap F) utilise les hypothèses.[/size]
Si les $u_i$ sont chacun dans $E_i$ et si leur somme $S$ est dans $F$ alors chaque $u_i$ est aussi dans $F$.
Pour les visiteurs, ne perdez pas de temps à lire, j'ai mis un argument mieux rédigé au lien :
[size=x-small]1/ Tous les u_i sont dans E_1 + F (on a pris le plus gros F possible).
2/ Prenons une égalité de la forme a+b=c avec a\in E_4 et b\in E_1 et c\in F . Alors: c=a-b , et toujours par hypothèse de récurrence (ce contre-exemple serait plus petit), on obtient que a,b sont déjà dans F , donc que a=b+c est dans F . Tu appliques ce raisonnement à chaque u_i, i\geq 2
Comme j'aurais pu partir d'autre chose que 1 en lieu et place de F+E_1 , il se trouve aussi que u_1\in F et c'est réglé.[/size]
Je repasserai de temps à autre pour vérifier si une erreur a été dénoncée ici, mais je n'en vois pas "a priori".
Concernant les arguments, attention, je pars de rien du tout. J'imagine que ce truc est une des conséquences connues de la boîte à outils diagonalisation and co .
De mon téléphone
1/ $S=u_1+u_2+u_3+..+u_n$ avec $u_i\in E_i$ pour tout $i$ et $S\in F$. (numérotation témoignage si $E_1\subset F$ alors $E_i\subset F$)
2/ donc $S=u_1+u_2+u_3+..+u_n$ avec $u_i\in E_i$ pour tout $i$ et $S\in F+E_1$. (Appel récursif1)
3/ donc $\forall i: u_i\in (F+E_1)$
4.1 / notons $u_4 = v_4+w_4$ avec $v_4\in F$ et $w_4\in E_1$.
4.2/ Alors $v_4 =u_4-w_4\in E_4+E_1$ donc $u_4 \in F$ (Appel récursif2,mais feuille, cas $(n=2)$ évident)
4.3/ Donc pour tout $i\geq 2: u_i\in F$ (ce que je viens de faire pour $4$ ne se sert pas de qui est $4$)
5/ Donc $u_1 = S - (u_2+..+u_n)\in F$
Remarque: le cas $n:=2$ est évident, MAIS C'est le seul qui utilise les hypothèses que $F$ est stable par $f$ et que les $E_i$ sont des espaces propres de $f$ pour des valeurs propres différentes.
Et je vois bien que tu pars de rien du tout, c'est pas pour autant que c'est plus simple :-D les outils sophistiqués c'est inventé pour se faciliter la vie; dans un argument comme le tien il y a plein de détails à vérifier, de calculs - ceux que j'ai en tête, je n'ai pas à réfléchir. Mais bon, ce n'est pas le sujet, et de toute façon le désir de topopot a été accompli.
topopot : Je me permets cependant une petite remarque: tu mentionnes Lagrange dans ton deuxième post : c'est une très bonne idée. En fait cela revient à ce que je t'ai suggéré (que $x_\lambda$ s'exprimait en fonction de $x$ et de $u$); tu peux le voir avec Lagrange comme tu l'as fait, ou plus directement (et c'est un en sens plus général) avec le lemme des noyaux, enfin plus précisément sa preuve.
J'en profite pour signaler que j'ai mis un lien en gros aux posts ratés d'avant pour rediriger vers celui-ci, la vie étant courte.
Avec le jeu des copiés-collés, j'ai hélas perdu la partie $n:=2$, je la retape :-X, sorry.
$S = a+b$ avec $S\in F$ et $(a,b)\in E_1\times E_2$, où $E_i:=\{x\mid f(x)=\lambda_ix\}$.
La stabilité de $F$ par $f$ donne $\lambda_1a+\lambda_2b \in F$ donc $a\in F$.
Il y a des tas de récurrence VALABLES qui ne prouvent rien en raison de la fausseté des initialisations. Il est donc intéressant de les recenser, et de se demander si dans el ou tel phénomène, il n'y en pas qui se cache.
Ici, nous avons une "belle récurrence" qui prouve que si $u_1+..+u_n$ est dans $F$ avec les $u_i$ dans $E_i$, alors $u_i\in F$, chose qui méritait évidemment d'être détaillée et non pas traitée avec le dédain du vieux routier.
Evidemment, ça ne prouve pas que ça arrive toujours, puisque l'initialisation (qu'ici on peut regarder comme le cas $n:=2$ est fausse dans le cas général (ici coup de chance elle marche parce que les $E_i$ sont des espaces propres.
Autre remarque, c'est un des grands drames de la logique quantique que de ne pas vérifier l'axiome :
$$ A\cap (X+Y) \subset (A\cap X)+(B\cap Y)$$
Adressé à moi, ça me caresse tendrement les oreilles, je reçois rarement ce genre de compliment :-D (Cela dit, le mot "cabalisitique" serait peut-être plus adapté même si moins flatteur pour moi). Je pense que si tu lisais, tu comprendrais en moins de 15 secondes, mais ce n'est surtout pas une invitation à lire que je t'adresse puisque tu sais très bien qu'il existe des récurrences bizarres pour en avoir croisé plein.