Point fixe/continuité

Jiol
Jiol
dans Analyse
Bonjour à tous, je bloque sur un exo de colle de math qui ne m'a pas l'air si compliqué mais je ne sais vraiment pas par quoi commencer, je dois montrer que pour
"si une fonction f continue sur IR à valeurs dans IR n'a pas de point fixe, alors fof n'a pas de point fixe".
Ce qui me pose vraiment problème c'est l'intervalle donné et le fait qu'il n'y ait pas point fixe à démontrer.
Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • noobey
    noobey
    Hello !
    Que dire du signe de f(x)-x ?
  • Jiol
    Jiol
    je suis passé par ce raisonnement, avec f(x)>x... mais le problème c'est l'intervalle IR...
  • noobey
    noobey
    L'intervalle donné est R pour dire que fof a un sens c'est tout. (Par contre si f est définie sur I , segment, et à valeurs dans I elle admet forcement un point fixe)

    Avec f(x)>x c'est gagné.

    f(f(x))> ...
  • Jiol
    Jiol
    D'accord merci donc la preuve se résumerait concrètement à:
    f(x)-x>0 donc f(x)>x
    et que finalement fof>f(x)>x
    j'avoue ne pas forcément saisir en quoi c'est une preuve. En effet j'ai aussi à penser à l'absurde mais dans le même cas j'ai du mal.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir

    Puisque $f$ est continue sur $\R$, il résulte que $g:\R\ni{}x\mapsto{}f(x)-x$ l'est également. Vu que $f$ n'admet pas de point fixe, alors ou bien $g$ est strictement négative, ou bien $g$ est strictement positive sur $\R$, en vertu du fameux théorème (...)

    Supposons $g$ strictement négative sur $\R$, i.e. $g(x)<0$ quel que soit $x\in\R$. Alors, en particulier, l'on a $g(f(x))<0$, de sorte que (...)

    Supposons $g$ strictement négative sur $\R$, i.e. (...)

    Vois-tu ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Jiol
    Jiol
    D'accord je comprends un peu mieux le raisonnement, merci beaucoup de ta réponse.
  • christophe c
    christophe c
    Quand le "pour tout" est implicite :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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