Facteurs invariants
Bonjour,
Soit $G=\Z/26\Z \times \Z/28\Z \times \Z/40\Z$.
Dans un premier temps, on me demande de déterminer les composantes $p$-primaires de $G$ à isomorphisme près.
Jusqu'à là, il n'y a pas de problème.
On trouve que : $G(2)$ est isomorphe à $\Z/2\Z \times \Z/4\Z \times \Z/8\Z$ ; $G(13)$ est isomorphe à $\Z/13\Z$ ;
$G(5)$ est isomorphe à $\Z/5\Z$ ; $G(7)$ est isomorphe à $\Z/7\Z$
Puis on me demande de déterminer les facteurs invariants de $G$ et d'en déduire un groupe auquel $G$ est isomorphe.
Malheureusement, je ne suis pas sûr de comprendre cette seconde question. En effet, le corrigé affirme que :
le type de $G$ est $( 2,4,5,7,8,13)$. On pose $d_3=5\times 7\times8\times13$, $d_2=4$ et $d_1=2$. On a bien $d_1 \mid d_2\mid d_3$ et $d_1d_2d_3= |G|$.
Je n'ai rien trouvé dans mon cours qui fait référence à cela. Pourriez-vous m'expliquer comment nous sommes censés trouver les facteurs invariants ?
En vous remerciant.
Soit $G=\Z/26\Z \times \Z/28\Z \times \Z/40\Z$.
Dans un premier temps, on me demande de déterminer les composantes $p$-primaires de $G$ à isomorphisme près.
Jusqu'à là, il n'y a pas de problème.
On trouve que : $G(2)$ est isomorphe à $\Z/2\Z \times \Z/4\Z \times \Z/8\Z$ ; $G(13)$ est isomorphe à $\Z/13\Z$ ;
$G(5)$ est isomorphe à $\Z/5\Z$ ; $G(7)$ est isomorphe à $\Z/7\Z$
Puis on me demande de déterminer les facteurs invariants de $G$ et d'en déduire un groupe auquel $G$ est isomorphe.
Malheureusement, je ne suis pas sûr de comprendre cette seconde question. En effet, le corrigé affirme que :
le type de $G$ est $( 2,4,5,7,8,13)$. On pose $d_3=5\times 7\times8\times13$, $d_2=4$ et $d_1=2$. On a bien $d_1 \mid d_2\mid d_3$ et $d_1d_2d_3= |G|$.
Je n'ai rien trouvé dans mon cours qui fait référence à cela. Pourriez-vous m'expliquer comment nous sommes censés trouver les facteurs invariants ?
En vous remerciant.
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Réponses
Sachant que $d_1$ doit diviser $d_2$ qui lui même doit diviser $d_3$, je pense que le peut trouver.
En effet, $2^1\times 5^0\times 7^0\times 13^0$ divise $2^2\times 5^0\times 7^0\times 13^0$.
Or, ce dernier divise lui aussi $2^3\times 5^1\times 7^1\times 13^1$.
\[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
8 &4 &2\\
\hline
5\\
\hline
7\\
\hline
13\\
\hline
\end{array}\]
Ensuite, il suffit de faire le produit le long des colonnes pour obtenir les facteurs invariants.