Famille génératrice d'un s.e.v

KJC
KJC
dans Algèbre
Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $\mathcal{F}=(x_i)_{i\in I}$ une famille de $F$.

Proposition : si $\mathcal{F}$ engendre $F$ et $F=E$, alors $\mathcal{F}$ engendre $E$.

Cette proposition est fausse. Pourriez-vous me fournir un exemple je vous prie. Le fait que la négation de la proposition soit vraie est plus naturel, pour autant quand je lis la proposition j'ai du mal à imaginer comment celle-ci peut être fausse. Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Pourquoi dis-tu que cette phrase est fausse ?
    $F=E$ veut dire que partout où on parle de $F$, on peut remplacer la lettre F par la lettre E; et réciproquement.

    Cordialement.
  • KJC
    KJC
    Dans mon livre, l'auteur commence par énoncer la réciproque de la proposition de mon premier message, en disant que celle-ci est vraie. Puis il affirme que la réciproque est fausse. Les démonstrations sont laissées au soin du lecteur. J'ai démontré de mon côté que la négation de la proposition (celle du message originel) est vraie. Mais je me suis peut-être trompé ? Merci.
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Peux-tu énoncer ce que tu as prouvé ?
  • gerard0
    gerard0
    Je ne comprends pas. De quelle réciproque parles-tu ? Ne confondrais-tu pas avec une contraposée ?

    "J'ai démontré de mon côté que la négation de la proposition (celle du message originel) est vraie" C'est bien ! J'aimerais la voir, pour montrer à Christophe que son espoir d'une preuve de 0=1 est enfin réalisé. Donc quelle est ta démonstration ?

    Cordialement.
  • KJC
    KJC
    Haha OK j'ai du commettre une erreur quelque part...

    Pour clarifier, je cite mon livre :

    " Si $\mathcal{F}$ engendre $E$, alors $\mathcal{F}$ engendre $F$ et $F$ = $E$ "

    Ma démonstration : si $\mathcal{F}$ engendre $E$, alors nécessairement il engendre $F$ puisque tout élément $x$ de $F$ est aussi un élément de $E$. De plus, si $\mathcal{F}$ engendre $E$, alors tout élément $x$ de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{F}$, donc comme combinaison linéaire de vecteurs de $F$ (car $\mathcal{F}\subset F$) : comme $F$ est un s.e.v de $E$, on a bien que pour tout $x$ de $E$, $x\in F$. Ceci démontre l'inclusion réciproque et permet de conclure que $E = F$.

    La réciproque, fausse d'après mon livre :

    " Si $\mathcal{F}$ engendre $F$ et $F$ = $E$, alors $\mathcal{F}$ engendre $E$ "

    J'ai démontré que la négation est vraie, autrement dit que " si $\mathcal{F}$ n'engendre par $F$ ou $F\neq E$, alors $\mathcal{F}$ n'engendre pas $E$ "... et c'est en tapant ceci que je réalise mon erreur, mon énoncé ne correspondant pas à la négation de la proposition originelle :)

    $(A\Rightarrow B) \Leftrightarrow (\bar{A}\vee B)$, donc $(\overline{A\Rightarrow B)}\Leftrightarrow (A\wedge \bar{B})$.

    Mais du coup la réciproque est vraie ? Merci.
  • christophe c
    christophe c
    Si x drague y et y=w alors x drague w. Comme t'a dit Gérard, tu peux dire oui à cette phrase les yeux fermés.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • KJC
    KJC
    Ci-dessous l'enchaînement tel que présent dans le livre.

    Théorème 1 :
    1) Proposition 1
    2) Toute sur-famille d'une famille liée est liée
    3) Proposition 3

    Théorème 2 :
    1) Proposition 1
    2) Si $\mathcal{F}$ engendre $E$, alors $\mathcal{F}$ engendre $F$ et $F=E$.
    3) La réciproque de 2) est fausse.

    J'imagine que la proposition 3 du théorème 2 devait avoir sa place dans le théorème 1. Sauf nouvelle erreur de ma part. Merci pour vos indications. Je vais faire quelques exercices de logique ça me fera du bien :)
  • gerard0
    gerard0
    Peux-tu nous scanner le passage ? Tel que tu le présentes (F étant un sev de E) le 3 du théorème 2 est faux, évidemment.
  • KJC
    KJC
    "En retournant aux définitions, on montre facilement que : "115748
  • christophe c
    christophe c
    Ne t'inquiète pas, les auteurs utilisent le terme réciproque à tort et à travers et absolument pas avec la définition sérieuse que tu as eu dans le passé (et qui d'ailleurs n'est pas spécialement sérieuse).

    Tu peux donc ignorer ce passage et vivre ta life (il voulait juste dire que ce n'est pas parce qu'une famille engendre F qu'elle engendre E)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement, ce 3) est assez surprenant. J'espère qu'il n'y a pas d'autres approximations de ce genre dans le livre.

    Cordialement.
  • KJC
    KJC
    @christophe

    Ah d'accord... S'il t'est possible de m'expliquer brièvement, pour ma culture générale, en quoi "ma" définition d'une réciproque n'est pas sérieuse, je t'en serais reconnaissant. Pour situer mon niveau, je n'ai ouvert que des cours dédiés à des bac +1. Et l'existence de ce fil démontre que je commets encore des erreurs. Sinon, j'ai aussi ouvert quelques ouvrages de vulgarisation sur le sujet. Par curiosité, j'ai également survolé les premiers passages du tome 1 de Bourbaki : le niveau est bien trop élevé pour moi.

    @gerard

    Approximations je ne sais pas. Certaines fautes de frappe sont évidentes et je peux les corriger. Cette faute aurait dû être évidente, car en lisant 3) la première fois je ne voyais pas comment celle-ci pouvait être vraie. C'est mon erreur de logique au moment de traduire la négation qui a rajouté de la confusion. En fait j'aurais juste dû raisonner comme dans ton premier message et "next" cette histoire : tout ceci démontre bien qu'il me manque encore les bons réflexes.
  • christophe c
    christophe c
    Alors non, au contraire, de ton côté, tu as eu le bon réflexe en respectant une définition. Tu as ensuite buggué par excès de confiance. En sciences, confiance --> Noway, c'est le principe: on ne croit pas on prouve.

    Par exemple ton "renoncement" à la définition du signe"=" est surtout là que s'est située ta faiblesse au sens où tu aurais pu formuler la question autrement. (Cela dit, j'ignore ton âge, mais t'as des "vieux crétins respectables" qui mettent "=" entre des trucs différents (ça ç la rigueur passe), mais enfilent un gilet jaune et menacent toute personne qui s'aviserait de leur déconseiller de dire que les deux triangles sont égaux. Mais c'est une autre affaire.

    La réciproque de A=>B, c'est B=>A, point à la ligne.

    Une formule de la forme $\forall x(A(x)\to B(x))$, n'a donc pas de réciproque puisqu'elle n'est pas une implication.

    Normalement ça devrait être la fin de l'histoire. Hélas, tu as des gens qui commettent l'abus de prétendre que la réciproque de $\forall x(A(x)\to B(x))$, c'est $\forall x(B(x)\to A(x))$. Bon à la rigueur, ça peut passer, car il semble pas trop inélégant de dire que la réciproque de $A\subset B$, c'est $B\subset A$.

    De toute façon, en résumé, ces mots désignent des formes de phrases, et il est toujours du devoir de qui les utilise de se mettre à disposition des gens et non des gens qui les entendent de les comprendre.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Précision: le "pas sérieux" renvoyait à la deuxième que j'ai traitée celle avec les $\forall$, trop souvent implicite et source de confusion.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • KJC
    KJC
    Je dirais que j'ai accordé trop de confiance à mon livre dans un premier temps. Mais ensuite oui, excès de confiance dans ma démonstration qui était fausse. C'est en tout cas comme ça que je le ressens à posteriori.
    christophe c a écrit:
    ton "renoncement" à la définition du signe"=" est surtout là que s'est située ta faiblesse

    En revanche je te rejoins complètement sur ce point. Ce fil découle tout simplement du fait que je n'ai pas été capable d'exploiter la définition du symbole "=" : frustrant, mais instructif. Pour la notion de réciproque, je vais m'en tenir à la définition classique. Merci pour tes précisions. Enfin pour ce qui est de mon age, étant donné que je suis sur la fin de la vingtaine, je dirais que le statut de "vieux crétin respectable" ne m'est pas encore attribuable. Encore moins dans le domaine des mathématiques, où je suis relativement débutant. Mais l'espoir demeure... :)

    Merci pour ta réponse.
  • christophe c
    christophe c
    que le statut de "vieux crétin respectable"

    Je t'avoue qu'il ne me semble pas en avoir croisé des moins de 60ans, car c'est relié à des controverses que je ne connais d'ailleurs pas, qui semblent avoir émergé dans des disputes géométriques d'après guerre 39-45.

    Je peux juste témoigner qu'ils avaient l'air de tenir mordicus à nommer égaux des triangles (et autres) isométriques et toute opposition les rendait nerveux. Mais je n'ai même pas de nom à citer (de toute façon, si j'en avais, je ne les citerai pas), tant c'est un souvenir générique.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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