Question sur les corps

tgbne
tgbne
dans Algèbre
Z30 n'est pas un corps car 30 n'est pas un nombre premier. Il y a possibilité de le justifier autrement ?

Je dois ensuite répondre à la question : Z2 x Z3 x Z5 est-il un corps ?

C'est quoi la réponse ?

Ce que je pense : Z2 x Z3 x Z5 est isomorphe à Z30 car 2, 3 et 5 sont deux à deux premiers entre eux (théorème des restes chinois). Et donc, Z2 x Z3 x Z5 n'est pas un corps. Mais je ne suis pas du tout sûre. Je vous remercie.

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Il est facile d'exhiber deux éléments non nuls dont le produit est nul.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    En quoi le fait que 30 n'est pas premier interdit que ce soit un corps ?

    Sinon, tu peux voir facilement qu'il y a des diviseurs de 0, par exemple.

    Cordialement.
  • tgbne
    tgbne
    oui j'avais pensé à l'intégrité aussi (diviseurs de zéro). Mais qu'en est-il de : Z2 x Z3 x Z5 est-il un corps ? J'avoue ne pas savoir comment le justifier avec l'intégrité.
  • christophe c
    christophe c
    C'est curieux la vie, depuis hier je croise des notations $\Z_n$. Est-ce que ça veut dire $\Z/n\Z$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • tgbne
    tgbne
    oui
  • Math Coss
    Math Coss
    Gérard0 a écrit:
    En quoi le fait que 30 n'est pas premier interdit que ce soit un corps ?
    La caractéristique d'un corps est $0$ ou un nombre premier $p$ et ce n'est pas $0$ si le corps est fini. Un corps fini est un espace vectoriel sur le sous-corps engendré par $1$ donc il est isomorphe à $(\Z/p\Z)^d$ comme groupe abélien et donc son cardinal est une puissance de $p$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Un produit d'anneaux commutatifs non triviaux (où on n'a pas $0=1$) n'est pas intègre. Vois-tu pourquoi ?
  • gerard0
    gerard0
    Mathcoss,

    je connaissais la réponse à ma propre question. Il aurait été important que Tgbne réponde lui-même ...

    Cordialement.
  • P.
    P.
    Pas bien compris la question $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_5 $ est il un corps? Pour quelles addition et multiplication diable? Il est vrai qu'elles pourraient etre n'importe quoi puisqu'un corps ne peut avoir 30 elements. Mais je trouve quand meme la question pas tres bien formulee.
  • Chaurien
    Chaurien
    Il est vrai qu'on trouve parfois la notation $\mathbb Z_n$ pour $\mathbb Z /n \mathbb Z$. Même de bons auteurs se sont laissé aller à cet abus de notation, et je trouve que c'est dommage.
    Lorsqu'on introduit cet anneau résiduel, par exemple en Terminale, on peut procéder spécifiquement, sans s'obliger à définir toute structure d'anneau-quotient par un idéal, et alors la notation $\mathbb Z /n \mathbb Z$ peut paraître lourde et injustifiée. Mais l'ennui c'est que dans les vraies mathématiques, la notation $\mathbb Z_p$ est déjà prise, pour désigner l'anneau des entiers $p$-adiques, et on peut définir aussi l'anneau $\mathbb Z_g$ des entiers $g$-adiques pour $g$ non premier.
    Alors je préconise de n'utiliser que $\mathbb Z /n \mathbb Z$ pour notre anneau résiduel, en disant aux débutants qu'ils verront plus tard pourquoi. De même il me semble qu'on n'explique pas en Terminale pourquoi $\cos \theta+i \sin \theta$ se note $e^{i \theta}$, non ?
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • tgbne
    tgbne
    Je suis désolée mais je n'arrive toujours pas, la question c'est :

    Z2 x Z3 x Z5 est-il un corps ? (il faut justifier)

    J'ai montré que Z30 n'était pas un corps car il est intègre. Je ne vois pas comment montrer l'intégrité sur Z2 x Z3 x Z5. Sinon, on est d'accord que Z2 x Z3 x Z5 est isomorphe à Z30 ? (par le théorème des restes chinois). L'isomorphisme justifie que Z2 x Z3 x Z5 n'est pas un corps ?
  • Chaurien
    Chaurien
    @ tgbne
    Je n'y comprends plus rien. Dans ton premier message tu dis que $\mathbb Z /30 \mathbb Z$ n'est pas un corps parce que $30$ n'est pas un nombre premier. C'est vrai, et il est inutile de le justifier autrement, mieux vaut progresser.
    Tu as certainement un cours qui te dit que l'anneau $\mathbb Z /n \mathbb Z$ est intègre si et seulement si $n$ est premier, ce qui est trivial, car si $n$ n'est pas premier, les classes des diviseurs de $n$ (autres que $1$ et $n$) sont des diviseurs de $0$ dans $\mathbb Z /n \mathbb Z$.
    Et maintenant tu nous dis que $\mathbb Z /30 \mathbb Z$ est un corps !?
  • Chaurien
    Chaurien
    La question de P. m'étonne. Si $A$ et $B$ sont des anneaux et que l'on parle de l'anneau $A \times B$ sans préciser plus, c'est qu'il s'agit de l'anneau-produit, où addition et multiplication se font terme à terme : $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et : $(x,y)(x',y')=(xx',yy')$. Et de même pour trois anneaux ou plus. Il n'est pas trop difficile de trouver des diviseurs de zéro dans un tel anneau-produit. C'est ce qu'a suggéré GaBuZoMeu.
  • tgbne
    tgbne
    @Chaurien, j'ai rectifié, je m'étais trompée. Je crois avoir trouvé avec votre explication

    On a : (1,2,0) x (0,0,1) = (0,0,0) avec (1,2,0), (0,0,1) non nuls appartenant à Z2 x Z3 x Z5 : ils sont donc diviseurs de zéros.

    On en déduit que l'anneau Z2 x Z3 x Z5 n'est pas intègre, ce n'est donc pas un corps.

    Bonne justification ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Oui, je pense que ça va.
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour les précisions, chaurien et tbne.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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