Question sur les corps
Z30 n'est pas un corps car 30 n'est pas un nombre premier. Il y a possibilité de le justifier autrement ?
Je dois ensuite répondre à la question : Z2 x Z3 x Z5 est-il un corps ?
C'est quoi la réponse ?
Ce que je pense : Z2 x Z3 x Z5 est isomorphe à Z30 car 2, 3 et 5 sont deux à deux premiers entre eux (théorème des restes chinois). Et donc, Z2 x Z3 x Z5 n'est pas un corps. Mais je ne suis pas du tout sûre. Je vous remercie.
Je dois ensuite répondre à la question : Z2 x Z3 x Z5 est-il un corps ?
C'est quoi la réponse ?
Ce que je pense : Z2 x Z3 x Z5 est isomorphe à Z30 car 2, 3 et 5 sont deux à deux premiers entre eux (théorème des restes chinois). Et donc, Z2 x Z3 x Z5 n'est pas un corps. Mais je ne suis pas du tout sûre. Je vous remercie.
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Réponses
Il est facile d'exhiber deux éléments non nuls dont le produit est nul.
En quoi le fait que 30 n'est pas premier interdit que ce soit un corps ?
Sinon, tu peux voir facilement qu'il y a des diviseurs de 0, par exemple.
Cordialement.
Un produit d'anneaux commutatifs non triviaux (où on n'a pas $0=1$) n'est pas intègre. Vois-tu pourquoi ?
je connaissais la réponse à ma propre question. Il aurait été important que Tgbne réponde lui-même ...
Cordialement.
Lorsqu'on introduit cet anneau résiduel, par exemple en Terminale, on peut procéder spécifiquement, sans s'obliger à définir toute structure d'anneau-quotient par un idéal, et alors la notation $\mathbb Z /n \mathbb Z$ peut paraître lourde et injustifiée. Mais l'ennui c'est que dans les vraies mathématiques, la notation $\mathbb Z_p$ est déjà prise, pour désigner l'anneau des entiers $p$-adiques, et on peut définir aussi l'anneau $\mathbb Z_g$ des entiers $g$-adiques pour $g$ non premier.
Alors je préconise de n'utiliser que $\mathbb Z /n \mathbb Z$ pour notre anneau résiduel, en disant aux débutants qu'ils verront plus tard pourquoi. De même il me semble qu'on n'explique pas en Terminale pourquoi $\cos \theta+i \sin \theta$ se note $e^{i \theta}$, non ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Z2 x Z3 x Z5 est-il un corps ? (il faut justifier)
J'ai montré que Z30 n'était pas un corps car il est intègre. Je ne vois pas comment montrer l'intégrité sur Z2 x Z3 x Z5. Sinon, on est d'accord que Z2 x Z3 x Z5 est isomorphe à Z30 ? (par le théorème des restes chinois). L'isomorphisme justifie que Z2 x Z3 x Z5 n'est pas un corps ?
Je n'y comprends plus rien. Dans ton premier message tu dis que $\mathbb Z /30 \mathbb Z$ n'est pas un corps parce que $30$ n'est pas un nombre premier. C'est vrai, et il est inutile de le justifier autrement, mieux vaut progresser.
Tu as certainement un cours qui te dit que l'anneau $\mathbb Z /n \mathbb Z$ est intègre si et seulement si $n$ est premier, ce qui est trivial, car si $n$ n'est pas premier, les classes des diviseurs de $n$ (autres que $1$ et $n$) sont des diviseurs de $0$ dans $\mathbb Z /n \mathbb Z$.
Et maintenant tu nous dis que $\mathbb Z /30 \mathbb Z$ est un corps !?
On a : (1,2,0) x (0,0,1) = (0,0,0) avec (1,2,0), (0,0,1) non nuls appartenant à Z2 x Z3 x Z5 : ils sont donc diviseurs de zéros.
On en déduit que l'anneau Z2 x Z3 x Z5 n'est pas intègre, ce n'est donc pas un corps.
Bonne justification ?