Endomorphisme : combinaison de projecteurs

:-D :-D j'ai ouvert le fil en espérant y trouver discussion quantique. Bon, puisque je suis là, je propose à topot l'idée (non clé en main) suivante pour la dimension infinie:

Probable que c'est vrai aussi en dimension infinie si et seulement si il existe un entier $n$ tel qu'en toute dimension finie, toute AL est combinaison linéaire de MOINS DE n vecteurs projecteurs.

Mais comme tu (enfin avec Max) cherches à dire non, c'est le "seulement si" qui est pertinent.

topopot : attention, je n'ai pas de preuve que ça ne marche pas en dimension infinie, donc je peux tout à fait me tromper - mais le fait que ce soit dur pour des opérateurs bornés sur un Hilbert indique que ce n'est sûrement pas vrai en général.

Bon bah visiblement la réponse est "oui", avec effectivement un nombre fixé d'idempotents qui suffisent en toute dimension.

La solution suggérée ici utilise le fameux "Eilenberg(-Mazur) swindle"

Merci, comme j'avais dû zapper ou être divergé juste après, je ne l'avais pas mise, voilà qui est réparé. MERCI A TOI

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2164376,2166040#msg-2166040

Héhéhé : Slogan :étant donnée une famille $(V_i)_{i\in I}$ d'espaces vectoriels, la somme directe $\bigoplus{i\in I}V_i$ est le "plus petit" (en un sens précis) espace vectoriel qui contient une copie de chaque $V_i$, de manière non reliée entre eux.

Concrètement, un modèle pour cette somme directe (dite "externe" pour ne pas la confondre avec la somme de sous-espaces d'un espace donnée, qu'on appelle parfois "interne") est l'espace vectoriel des familles $(v_i)_{i\in I}, v_i \in V_i$ pour tout $i$, telles qu'au plus un nombre fini de $v_i$ soit non nul.

Dans le cas où $I$ est fini, c'est encore plus simple parce que la condition de finitude est vide, et donc ça revient à $\prod_{i\in I}V_i$.
Le cas $I=2$ est celui qui t'intéresse: $V\oplus V\cong V\times V$.
$V^{(\omega)}$, quant à lui, est $\bigoplus_{n\in \omega}V$, qui est pour le coup tout à fait différent de $\prod_{n\in \omega} V$

Waouh, c'est space: 3 pour le fini, 4 pour l'infini (j'imagine que tu as utilisé l'axiome du choix, je n'ai pas encore cliqué).

CC : bien sûr c'est fondé sur des conséquences de l'axiome du choix.

Le lemme bien connu "les sous-espaces propres d'un endomorphisme commutant avec un autre sont stables par l'autre" permet de montrer facilement par récurrence l'énoncé "une famille finie d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux est diagonalisable dans une base commune".

Fun fact : On peut se passer de la dimension finie, ou de la finitude de la famille, mais pas les deux.