Nombre de racines

En effet $X^2-1$ a 4 racines dans $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ et $2X$ a deux racines dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

Merci à vous deux.

Je dirais trois racines : $i$, $j$ et $k$

Oui il y a aussi des combinaisons multiplicatives de ces trois éléments

Soit $(a, b, c, d)$ un élément de $\mathbb{R}^4$. On note $h$ le quaternion $a+bi+cj+dk$.
On a $h^2=a^2-b^2-c^2-d^2+2a(ib+jc+kd)$.
Donc $h$ est racine du polynôme $P\in\mathbb{K}[X]$ $P(X)=X^2+1$ si et seulement si
$\begin{cases}
a^2-b^2-c^2-d^2=-1\\
a=0 \text{ ou } b=c=d=0
\end{cases}$
En choisissant $a=0$ alors on a $b^2+c^2+d^2=0$, égalité vérifiée par une infinité de $(b,c,d)\in\mathbb{R}^3$
Ainsi $P(X)=X^2+1$ possède une infinité de racines, de la forme $ib+ic+id$ avec $b^2+c^2+d^2=1$