Nombre de racines
dans Algèbre
Bonjour,
lorsqu'on affirme qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines, faut-il préciser que ce polynôme a ses coefficients dans un corps?
Merci
lorsqu'on affirme qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines, faut-il préciser que ce polynôme a ses coefficients dans un corps?
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Oui, au moins dans un anneau intègre.. Cherche les racines de $X^2-1$ dans $\Z/8\Z$
Un autre exemple un chouillat plus simple : $2X$ dans $\Bbb Z/4\Bbb Z$.
Et si on admet qu'un corps peut être un corps gauche, ça se complique : penser au polynôme $X^2+1$ et au corps gauche des quaternions.
Merci à vous deux.
On a $h^2=a^2-b^2-c^2-d^2+2a(ib+jc+kd)$.
Donc $h$ est racine du polynôme $P\in\mathbb{K}[X]$ $P(X)=X^2+1$ si et seulement si
$\begin{cases}
a^2-b^2-c^2-d^2=-1\\
a=0 \text{ ou } b=c=d=0
\end{cases}$
En choisissant $a=0$ alors on a $b^2+c^2+d^2=0$, égalité vérifiée par une infinité de $(b,c,d)\in\mathbb{R}^3$
Ainsi $P(X)=X^2+1$ possède une infinité de racines, de la forme $ib+ic+id$ avec $b^2+c^2+d^2=1$