Nombre de racines
dans Algèbre
Bonjour,
lorsqu'on affirme qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines, faut-il préciser que ce polynôme a ses coefficients dans un corps?
Merci
lorsqu'on affirme qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines, faut-il préciser que ce polynôme a ses coefficients dans un corps?
Merci
Réponses
-
Bonjour
Oui, au moins dans un anneau intègre.. Cherche les racines de $X^2-1$ dans $\Z/8\Z$ -
Bonjour,
Un autre exemple un chouillat plus simple : $2X$ dans $\Bbb Z/4\Bbb Z$. -
Bonjour,
Et si on admet qu'un corps peut être un corps gauche, ça se complique : penser au polynôme $X^2+1$ et au corps gauche des quaternions. -
En effet $X^2-1$ a 4 racines dans $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ et $2X$ a deux racines dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
Merci à vous deux. -
Et combien $X^2+1$ a-t-il de racines dans $\mathbb H$ ?
-
Je dirais trois racines : $i$, $j$ et $k$
-
Bien plus !
-
Oui il y a aussi des combinaisons multiplicatives de ces trois éléments
-
Si par combinaison multiplicative tu penses à des choses de la forme $ik^2j^{-1}ijk^{-1}i^4$ alors de telles combinaisons sont toujours dans $\{\pm i, \pm j, \pm k\}$, mais il y a encore plus de racines de ce polynôme !
-
Soit $(a, b, c, d)$ un élément de $\mathbb{R}^4$. On note $h$ le quaternion $a+bi+cj+dk$.
On a $h^2=a^2-b^2-c^2-d^2+2a(ib+jc+kd)$.
Donc $h$ est racine du polynôme $P\in\mathbb{K}[X]$ $P(X)=X^2+1$ si et seulement si
$\begin{cases}
a^2-b^2-c^2-d^2=-1\\
a=0 \text{ ou } b=c=d=0
\end{cases}$
En choisissant $a=0$ alors on a $b^2+c^2+d^2=0$, égalité vérifiée par une infinité de $(b,c,d)\in\mathbb{R}^3$
Ainsi $P(X)=X^2+1$ possède une infinité de racines, de la forme $ib+ic+id$ avec $b^2+c^2+d^2=1$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres