Générateurs de Z/nZ
Réponses
-
Tu ne veux pas réfléchir 5 secondes avant de poster des questions? M...de!
-
J'y ai réfléchi depuis hier je ne trouve pas. J'ai du le relire 15 fois.
-
Euh, peut-être qu'en décrivant les éléments du sous-groupe engendré par $\bar{k}$ tu verras ?
Mais je pense que pour les groupes il est important de prendre le temps d'écrire les choses soi-même - quitte à ne pas y arriver - avant de voir le corrigé (ce que tu as peut-être fait, mais on ne dirait pas vu la question).
Dixit quelqu'un qui s'est replongé dedans fugacement il y a quelques temps. -
Ce n'est pas un exercice mais du cours. J'ai du mal à manipuler la notion de classe d'équivalence avec les groupes alors essayer des démonstrations sans regarder le corrigé je n'y arriverai jamais de premier abord.
Soit
Soit $A$ le sous-groupe engendré par $\bar{k}$ alors $A=\{\bar{0},\bar{k}, \cdots, \bar{k}^n, \bar{1} \ | n \in \Z \}$ -
Ici l'opération est l'addition, pas la multiplication : ton $\bar k^n$ ne fait pas sens.
-
D'abord comprendre la notion de classe d'équivalence, quitte à tout reprendre avec les définitions pour savoir.
Ça fait 2 ans que tu demandes des explications sur ce sujet, tu les as eues, elles n'ont servi à rien !
Mais quand on voit que tu demandes de l'aide pour mettre en équation un exercice de collège, on se rend compte que tu n'es pas sérieux. Tu veux des écritures toutes faites à recopier. Tu ne fais pas ta part du travail ! -
A mon avis (je répète, je n'y connais pas grand chose), et comme dit plus haut par GaBuZoMeu et gerard0, là tu mélanges les notations multiplicatives et additives des groupes: on travaille souvent avec la notation multiplicative (par convention ? ou au moins pour ne pas supposer la commutativité j'imagine), mais pour $\mathbb{Z}$ et ses quotients, c'est plutôt $+$ qu'on utilise; on écrit alors $A=\,<\overline{k}>\,=\left \{ m \overline{k} \mid m \in \mathbb{Z} \right \}$, où il est entendu que $m \overline{k}=\overline{k}+\overline{k}+\cdots+\overline{k}$ $m$ fois.
Au hasard, regarde le premier paragraphe de ce document (la page 3 redonne la démonstration qui t'intéresse, avec le même raisonnement).
Cela dit, je pense qu'il est préférable de s'y casser la tête un moment sur des exemples simples, avant de passer à du plus difficile.
Anecdote : en TIPE de MP, je travaillais sur le groupe fondamental, notion en réalité un peu trop difficile pour mes connaissances, mais le sujet m'intéressait. En particulier, je ne comprenais pas la démonstration d'un théorème (Van-Kampen). Mon prof, bien sage, m'avait alors expliqué que je bénificierais d'avantage à chercher une journée entière ma conception du problème plutôt qu'à en comprendre la preuve. Je suis allé à l'épreuve sans la démo (pourtant disponible dans n'importe quel ouvrage traitant du sujet), mais avec mes propres intuitions. Non seulement le jury a été satisfait, mais moi également. -
J'imagine que dans la tête de OS tout se mélange quand on parle de "$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$".
La formulation qu'il a copié-collé d'un cours est en elle-même très critiquable. Evidemment ceux qui savent de quoi il est question comprennent sans ambiguïté le propos mais les autres, ceux qui ne savent pas de quoi il est question a priori? -
Je veux bien Fdp mais « $\bar{1}$ est générateur de $\Z/n\Z$ » ne laisse guère de doute sur la loi dont il est question ici.
Il est de notoriété publique qu’on ne précise pas la loi quand il n’y a aucune confusion possible. -
Ok merci je corrige.
@Polka
Le document que tu m'envoies explique encore moins bien que mon livre.
Franchement je ne comprends rien à la démonstration du cours de l'ENS. Je trouve le cours pas clair et très mal expliqué. Les notations sont compliquées aussi.
C'est beaucoup plus simple dans le DUNOD MP.
Soit $A$ le sous-groupe engendré par $\bar{k}$. Alors $A=\{ n \bar{k} \ | \ n \in \Z \}$
S'il contient $\bar{1}$ ça change quoi ?
Bref, je ne comprends toujours pas. -
Hello si A contient 1 il contient 1+1, 1+1+1 etc
-
S’il contient $\bar{1}$, il contient $\bar{1}+\bar{1}+\cdots+\bar{1}$ avec autant de $\bar{1}$ que tu veux, et donc ?
-
Ibni: Je parlais de la formulation de la "proposition 38".
Edit: j'avais mal orthographié le pseudonyme de Ibni. -
D’accord Fdp.
Remarque : la première lettre de mon pseudo est un « i » majuscule.
(En référence à un éminent mathématicien mis à l’honneur il y a quelques années dans ce forum par le grand Michel Coste). -
OS:
$\overline{1}$ est un élément de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ et c'est un générateur du groupe.
Quand on calcule $\overline{1},\overline{1}+\overline{1},\overline{1}+\overline{1}+\overline{1},..$ on va obtenir tous les éléments du groupe.
On a une liste de sous-groupes de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ et on cherche à savoir lesquels sont en réalité le groupe tout entier. Pour que ce soit le cas, une condition nécessaire est qu'ils contiennent l'élément $\overline{1}$ mais comme on vient de le voir si un sous-groupe de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ contient $\overline{1}$ il contient tous les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. La condition est nécessaire et suffisante.
NB:
Du fait de la structure de sous-groupe si $h$ est élément d'un sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ dont la loi est notée additivement.
Les éléments $h,h+h,h+h+h,h+h+h+h,...$ sont encore des éléments de $H$. -
J'ai compris ça mais je ne vois pas d'où sort l'existe d'un entier $l$ tel que $l \times \bar{k}= \bar{1}$ :-S
-
Ben dans ce cas tu n'as rien compris... C'est quoi $\bar k + \bar k + \dots + \bar k$ additionné $l$ fois ?
-
OS:
Si le sous-groupe de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ engendré par l'élément $\overline{k}$ est le groupe $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ tout entier il doit contenir l'élément $\overline{1}$.
Après il faut savoir ce que signifie: sous-groupe de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ engendré par $\overline{k}$ (dans le contexte). J'ai l'impression que tu ne le sais pas. -
-
OS: Dans le contexte $ \overline{l \times k}$ n'a pas de sens.
Edit: j'ai mal lu c'est $\overline{l} \times \overline{k}$ qui n'a pas de sens.
PS:
Dans le contexte on a $\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$ .
Egalité dans $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$
On peut donc généraliser une telle formule à plus de deux termes.
PS2:
Déjà indiqué par plusieurs intervenants l'écriture $l\times\overline{k}$ signifie $\underbrace{\overline{k}+...+\overline{k}}_{l\text{ fois}}$ -
OShine, si les congruences sont trop compliquées pour toi, peut-être peux-tu te poser la question : existe-t-il un entier $\ell$ tel que $n$ divise $\ell k-1$ ?
-
Dans le contexte, on travaille dans un groupe d'ordre fini sauf erreur on a donc:
$\{n \bar{k} \ | \ n \in \mathbb{Z} \}=\{n \bar{k} \ | \ n \in \mathbb{N} \}$ -
@FDP
Je ne crois pas que ce soit utile ce résultat ici.
@Gabuzomeu
Je sais que $\bar{a}=\bar{b}$ si et seulement si $\exists q \in \Z \ a-b=qn$
Ici $l \times \bar{k}= \bar{1}$ je ne vois pas comment faire à cause du $l$ en trop :-S
Je ne comprends pas ce que ça signifie. -
Donc $l × \bar{k} - \bar{1}=?$ Et alors $l × k = ?$Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Je n'arrive pas à manipuler les classes d'équivalence.
$l \bar{k}-\bar{1}=\bar{0}$ mais après je ne comprends pas comment continuer :-S -
OShine:
Quand on a $u-v\equiv 0\mod{n}$ comment peut-on traduire cela autrement?
Ou si tu préfères, quels sont les éléments qui sont dans la classe de $0$ modulo $n$ dans $\mathbb{Z}$? -
Mais je ne t'ai pas parlé de manipuler les classes d'équivalence !
Je t'ai posé une question d'arithmétique toute bête. On a un entier $n > 0$, et un entier $k$. À quelle condition existe-t-il un entier $\ell$ tel que $\ell k-1$ soit divisible par $n$ ? Et accessoirement, si un tel $\ell$ existe, comment fait-on pour en trouver un ?
En plus, la réponse est donnée dans l'extrait que tu as scanné. -
Mon vieux... Tu es sur d'avoir fait mpsi etmp ?
-
Julian:
Quelle importance?
PS:
OS:
Je ne sais plus si on t'a répondu: on a bien $l\times\overline{k}=\overline{l\times k}$ dans $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$
PS2:
Après il n'y a plus qu'à compléter ce que demande Nicolas:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2164890,2165278#msg-2165278 -
-
OS:
Cela me semble bien. Normalement tu devrais pouvoir finir. -
$cl(k)= \{ y \in Z \ , k \equiv y [n] \}$
Puis $cl(l \times k)= \{ y \in Z \ , k \times l \equiv y [n] \}$
Et $l \times cl(k)= \{ ly , \ \ k \equiv y [n] \}$
Je ne vois pas pourquoi on aurait $l \times \bar{k}= \overline{ l \times k}$ -
Parce que $\overline{a+a}=\overline{a}+\overline{a}$ dans $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$
$a\rightarrow \overline{a}$ est un homomorphisme de groupes de $\left(\mathbb{Z},+\right)$ vers $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)$ c'est l'application qui a un entier lui associe sa classe modulo $n$. -
Ah oui merci je suis bête :-X
Du coup le reste j'ai compris, c'est juste traduire $\bar{u} = \bar{v}$ en $u-v$ est un multiple de $n$. -
-
J'ai répondu à sa question.
-
OS:
Si tu avais répondu à sa question complètement tu aurais la réponse à ta question initiale (pour ainsi dire). -
$lk-1$ est un multiple de $n$.
Comment on trouve $l$ j'en sais rien. Pas compris la question. -
Relis le scan que tu as posté.
-
$l$ est un coefficient de Bezout, on le trouve en utilisant la division euclidienne de $k$ par $n$ et en remontant.
-
C'est une blague les fils de OSHINE!!!! Merci pourles fous rires qu'ils provoquent.
OSHINE: dans n'importe quel groupe, si $k$ est un entier $ka$ veut dire $a+a+a+...+a$ en écrivant $k$ fois la lettre $a$. Mais comme toi tu écris $a^k$ :-D c'est sûr que tu galères.
Mais je pense que les camarades du fil devraient (je ne le fais pas pour t'embêter) te forcer à préciser tes questions plutôt que te répondre. Car quand on débarque avec le recul et lit à froid, ça donne vraiment l'impression que tu t'es trop accoutumé à te faire assister***. Et encore une fois j'insiste, chacun fait ce qu'il lui plait, je ne juge pas, tu sais que je n'ai rien contre toi, j'avais ouvert un fil en ta faveur, mais là franchement, quand j'ai lu ce fil...
Je ne sais pas si c'est conscient, mais tu "fais exprès ou pas" de ne rien donner comme précision PERSONNELLES dans tes questions ce qui fait que tout le monde tourne en rond (et toi avec)
Concernant $1$. C'est juste parce que SI 1 est dans un sous-groupe, ce groupe est $\Z/n\Z$ tout entier et évidemment réciproquement. Et, qu'est-ce que j'aime pas ça (décrire une intention en maths), mais ils ont utilisé $1$ car ils gagnent en longueur (prouver que tout le monde est là, c'est bien plus long que prouver que 1 est là)
*** d'ailleurs tu devrais arrêter de continuellement évacuer tes tensions sur les livres (qui ne méritent pas ça, vu le bénévolat). C'est bien de vivre sans stress, mais la "tension" c'est aussi l'élément du sportif, qui fait gagner les matchs. Faut un équilibre: le méditateur total romollo...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Christophe
Je pense que les personnes n'ont pas compris ce que je n'avais pas compris.
En fait avec le recul je me dis que c'était super simple comme démonstration.
Mais je ne suis pas habitué à travailler avec les classes, c'est la première fois que je m'y frotte réellement, et je mets du temps pour comprendre certaines choses, il faut que je pratique quotidiennement pour que ça devienne naturel. -
Oshine a écrit:les personnes n'ont pas compris ce que je n'avais pas compris.
Normal, tu ne le leur dis pas car tu espères "gratter de la culture" en même temps à tout va. Bon, j'ai lu en diagonale, mais j'ai bien vu que tu répétais sans cesse $L.Truc$ avec le L pas surbarré, SAUF QUE chaque fois, tu ajoutais j'ai des problèmes avec les classes, ceci et cela, bref, tu noyais le poisson.
De même tu ne comprends pas une notation, bon très bien. Bin STOP: tu t'arrêtes à demander ce qu'elle veut dire. Non, toi il faut que tu en profites non seulement pour dire que tu ne comprends pas telle notation, que du coup tu ne vois pas à quoi ça sert dans la démonstration, plus quelques ajouts de colère contre des livres ou autre.
Bin ça ne loupe pas, les gens focalisent sur la démonstration et ont oublié que tu demandais une notation. Et je ne crois pas que ce soit totalement innocent de ta part :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Echanger sur un forum pour se faire comprendre c'est plus long qu'entre quatre yeux à mon humble avis. Cela demande de la patience (et donc du temps).
"gratter de la culture", je crois que ce forum est fait pour ça.
PS:
Quand on ne comprend pas ce que quelqu'un ne comprend pas, on commence par voir si on a des bases communes.
Dans le cas d'espèce on s'assure que des trucs de base sont bien claires dans la tête de celui qui demande. -
Les deux derniers paragraphes de ton post, par exemple, "foutent la rage" aux gens qui t'aident à force de te voir les répéter car ça ajoute encore aux doutes de "pourquoi tu étais là".
Sache que tu as "raison", tout le monde peut dire ça "ah en fait c'était simple, etc, etc" c'est humain, on s'en fiche, c'est juste convivial mais dans tes contextes, ce n'est pas adroit. Idem quand tu signales que tu maitrises mal une notion: bin on se doute que tu as des problèmes puisque tu poses des questions".
Bref, tu as tout un tas de petites manies qui "encartent" tes motivations qui finissent par tromper les gens qui t'aident en les envoyant sur autre chose.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@FdP: "gratter de la culture", oui bien sûr why not, mais quand tu viens pour demander une notation et que tu fais oublier à tout le monde, y compris à toi-même que tu venais pour ça parce que tu as développé ce "grattage" comme un style systématique...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Essaie avec la classe de $2$ dans $Z/5Z$ et dans $Z/6Z$.
Quelle différence par exemple (pas tout à fait par hasard) pour $3 \bar 2$ ?
Tu ne vois pas le $l$ ?
(désolé, je ne me suis toujours pas mis à latex)
[Encadre toutes les expressions mathématiques par des $\$$.
Clique dans "Citer" pour voir le code "traduit". ;-) AD] -
Christophe:
C'est l'une des difficultés du métier d'enseignant tu ne lis pas dans l'esprit des gens, on ne comprend pas toujours ce que l'autre ne comprend pas ou quelle est véritablement sa demande.
En même temps, je crois que si cela s'est un peu éparpillé, j'ai le sentiment que ce n'était pas forcément inutile.
Quand on a verbalisé deux ou trois conneries ce n'est pas une mauvaise chose à mon humble avis. -
FdP: je vais dire la chose autrement. Il existe un doute à mon avis (ce n'est pas définitif) sur le fait que OShine est passionné par les maths.
Je vais faire une analogie
Imagine un forum de gens passionné par les arbres et au shine qui débarque et mobilise un peu tout le monde en simulant peut-être un peu trop une passion pour les arbres enfin disons que il ne ment pas il ne simule pas mais se comporte manière que tous les passionnés pour les arbres y voient un partenaire de conversation.
Je suis en train de dicter tout ça à mon téléphone.
Dans cette analogie il peut y avoir des difficultés dues au fait que ça ne peut pas durer très longtemps qu'une personne vivre comme une corvée ce que les autres vivent comme une passion.
Aussi je recommanderai à OShine de parler un peu plus de lui et moins de prononcer des phrases clés de relance autour du seul travail
De toute façon les maths c'est passionnant en tout cas il a déjà franchi le niveau ou ça l'est et il a rien à perdre à avouer que tu es le truc et une corvée ou pas
Dicté avec galère de mon téléphone.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'aurais pu prendre l'exemple du foot ou l'exemple des garagistes.
A un moment il faut se positionner pour améliorer l'échange et signifier son niveau de passion est important.
On ne comprend pas ces maths là uniquement parce qu'on est courageux et fait du répétitifAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
![[Utilisateur supprimé]](https://w7.vanillicon.com/7a0a116d7a2b15721b23d81f83a76df6_100.png)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 2
2 Invités