Générateurs de Z/nZ

Christophe C a écrit:

Il existe un doute à mon avis (ce n'est pas définitif) sur le fait que Oshine est passionné par les maths.

Oui c'est un doute entendable. Les gens qui ne sont pas passionnés par ce qu'ils font, et qui n'ont aucun stimulus extérieur pour continuer à faire ce qu'ils font, finissent par se lasser et abandonnent. On verra ce qu'il en sera pour OS.
Par ailleurs, je ne suis pas sûr que tous les gens qui travaillent l'agrégation de mathématiques sont passionnés par les mathématiques. C'est leur affaire, ils ne font de mal à personne si ce n'est éventuellement à eux-mêmes.

ce n'est pas ne question, je te montre un exemple qui illustre l'encadré que tu ne comprends pas, et un contre exemple.
désolé toujours pour le (manque de) latex:
en classes sur z/5z, 3 x bar 2 = bar 1, ton l est donc 3, et il existe un entier a = 1 tel que 3 x 2 = 1 + 1x5.

OS:

C'est la philosophie des quotients.

Si $H$ est un sous-groupe de $G$ alors il y a une partition "naturelle"* de $G$.
Une partition est une collection de sous-ensembles de $G$ qui vérifie:
1) Tous les sous-ensembles sont non vides.
2) Deux à deux leur intersection est vide.
3) Chaque élément de $G$ est dans un (unique) sous-ensemble de cette collection.

Maintenant on voudrait munir cette collection (qui est un ensemble de classes comme on dit) d'une loi de groupe dérivée de celle de $G$. de la façon suivante:

Je note cl(a) la classe de $a$ un élément de $G$ (il n'y aucune ambiguïté dans cette définition puisque tout élément de $G$ appartient à une seule classe).

On voudrait définir $cl(a).cl(b):=cl(a.b)$
A gauche le point désigne la loi de groupe dont on voudrait munir l'ensemble des classes, et à droite de l'égalité, le point désigne la loi sur $G$.
Cette définition est ambigüe car j'ai pris deux éléments particuliers dans chacune des deux classes.
Rien ne garantit que si je prends un autre élément $a'$de la classe de $a$ et un autre élément $b'$ de la classe de $b$
$a'b'$ sera dans la même classe que $ab$.

Pour que la définition ne soit plus ambigüe il faudrait que si $a'$ appartient à $cl(a)$ et $b'$ appartient à $cl(b)$ on ait que $cl(a'.b')=cl(a.b)$ c'est à dire que $a.b$ et $b.b'$, qui sont deux éléments de $G$, soient dans la même classe.

On peut obtenir une telle loi de groupe sur l'ensemble des classes de la partition liée à un sous-groupe $H$ de $G$ à condition que $H$ ne soit pas n'importe quel sous-groupe. Il faut que ce soit un sous-groupe distingué de $G$.

*: deux éléments $a,b$ de $G$ sont dans la même classe si et seulement si $a^{-1}b\in H$

@OShine, il faut reconnaitre que sur ce point livres et cours déconnent TOTALEMENT. Donc, comme tu as le nez sur le guidon et que tu cherches des définitions formelles peut-être, je te donne la définition de $+$ dans $\Z/n\Z$ car tu ne la trouveras nulle part. Généralement, les livres à la place mettent une espèce de tartine philosopheuse indigeste ou poétique, enfin bref.

Je la note $p$ exprès (pour plus) et j'abrège en posant $E:=\Z/n\Z$.

$$p:=\{((a,b),c) \in (E\times E)\times E \mid \exists ((x,y),z)\in (a\times b)\times c: x+y=z\}$$

Il t'appartient de prouver (ou de te laisser faire quand on te le prouve) que c'est bien une fonction, etc, mais bref, en tout cas, c'est un objet mathématique parfaitement défini et banal.

cc a écrit:

Donc, comme tu as le nez sur le guidon et que tu cherches des définitions formelles...

$p:=\{((a,b),c) \in (E\times E)\times E \mid \exists ((x,y),z)\in (a\times b)\times c: x+y=z\}$

C'est effectivement très formel.


PS. Dire que je me suis souvent dit que le principal problème d'OShine (ou un de ses problèmes) est qu'il s'accroche trop au formalisme mathématique sans comprendre le véritable sens des objets qu'il manipule... là il est servi. 8-)

OShine a écrit:

On définit la relation et il faut juste vérifier que l'égalité ne dépend pas du choix des représentants.

(tu)

Oshine: la psychanalyse se fait dans le temps long.

cc,
Je pense qu’il vaudrait mieux préciser à OShine(si j’ai bien compris ce qui te fait dire que ta définition est « LA » définition...) que la définition « traditionnelle » des bouquins ($p((x+n\Z),(y+n\Z)):=(x+y)+n\Z$ en gardant ta notation) n’en est pas une tant qu’on n’a pas prouvé que l’application est bien définie(justement...) tandis que ton écriture nous affranchit de cette tâche par une définition extensive de l’addition(en tant que partie d’un ensemble donc). La dernière remarque entre parenthèses rend peut-être les choses compliquées pour OShine...

1)On suppose que la loi de groupe sur les classes de la relation d'équivalence induite par un sous-groupe $H$ de $G$ est bien définie par $cl(a).cl(b):=cl(a.b)$.
C'est à dire que si $a,a'$ sont dans la même classe d'équivalence (une classe d'équivalence est un élément de la partition) et $b,b'$ dans la même classe d'équivalence alors cl(a.b)=cl(a'.b')

En prenant $a,a',b,b'$ bien choisis montrer que cela implique que $H$ est distingué dans $G$.

2)Montrer la réciproque, c'est à dire que si $H$ est distingué dans $G$ et si, $cl(a)=cl(a')$, $cl(b)=cl(b')$ alors $cl(a.b)=cl(a'.b')$.

Je ne vois pas en quoi la définition traditionnellement énoncée dans les livres est un verbiage romantique...

Les algèbres tu peux laisser de côté pour le moment

L'existence d'un sous-groupe $H$ distingué permet de récupérer un ersatz de commutativité:

Si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$, $h\in H$ et $g\in G$ il existe $h'$ de $H$ tel que $hg=gh'$

@RLC :lis le post de ibni.

OShine a écrit:

La ou j'ai des les lacunes c'est sur les classes d'équivalence, représentant de classe, ensemble quotient.

@OShine si tu arrives à comprendre qu'une relation d'équivalence sur un ensemble n'est rien d'autre qu'une partition de cet ensemble exprimée différemment tu as compris la majeure partie du truc.

Est-ce que tu vois comment passer d'une relation d'équivalence à une partition et réciproquement ?

Le mot quotient dans le contexte n'est pas là juste pour faire joli et tromper l'honnête étudiant. B-)-

Quand on divise $12$ par $3$ cela revient à se demander si on a $12$ pommes et qu'on veut les conditionner par paquets de $3$ combien aura-t-on de paquets? A partir de $12$ objets on obtient $4$ paquets de $3$ et chacun de ces paquets devient un seul objet et sera recevra l'attention du consommateur si ces paquets sont vendus séparément dans le commerce.

On a bien réalisé une partition de l'ensemble des $12$ pommes:
1) il n'y a aucun paquet vide.
2) Aucune pomme n'est dans deux paquets différents.
3) Chaque pomme est dans un des paquets.

Quand on partitionne un groupe $G$ fini suivant un de ces sous-groupes $H$ on se retrouve avec $[G:H]=\dfrac{|G|}{|H|}$ paquets d'éléments de $G$. En quelque sorte tous les éléments d'un de ces paquets deviennent indiscernables et on considère que tous ces éléments deviennent un seul élément. (une classe d'équivalence)

@RLC: débat sans fin, ça ne correspond pas à ce que j'ai croisé, mais je n'ai pas tout lu. Le fait est qu'une définition est une abréviation et ne doit pas donner l'impression qu'avant d'être posée, elle dépend de la réalité du monde qui nous entoure. (En maths).

Prend $\mathbb{Z}$ et dessus la relation d'équivalence, notée $\equiv$ définie par $0 \equiv 1$, $2 \equiv 3$ et c'est tout.
T'as l'impression que si on défini l'addition sur les classes pour cette loi par $cl(a)+cl(b) := cl(a+b)$ on obtient un truc de bien défini?

OS a écrit:

Si vous avez des exercices à me donner sur ce sujet je suis preneur.

Je te donne un exercice de quelques lignes qui résume ton propre présent interminable fil.

1/ Soit $n>1$ un entier.

2/ Soit la relation $R:=\{(p,q)\in \Z^2\mid n$ diviseur de $(p-q)\}$

3/ Prouver que c'est une relation d'équivalence. On note $E$ l'ensemble des classes d'équivalence de $R$

4/ Soit $G$ l'ensemble des couples $((x,y),z)$ tels que $x,y,z$ sont tous 3 dans $E$ et $\exists (u,v)\in \Z^2: u\in x$ et $v\in y$ et $u+v\in z$

5/ Prouver que $G$ est une fonction définie sur $E^2$ à valeurs dans $E$

6/ Prouver que $(E,G)$ est une groupe.

7/ Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Prouver que $H=G$ si et seulement si $\{x\in \Z \mid (x,1)\in R\}\in H$

Voilà, c'est ton fil en dur, sans blabla, ni imprécision.

De toute façon, je pense que face à des gens divers et variés, il ne faut pas trop compter sur une familiarité qu'on impose aux gens.

"Ne dépend pas de" est une expression que les matheux aiment bien mais qui ne peut que post-exister à un parcours préalable d'adaptation de l'étudiant. Sinon, c'est de l'esbrouffe, le prof se fait plaisir et les étudiants écoutent un ésotérique.

Sur le fond (indépendamment du fait que l'étudiant n'écoute pas 100% tout religieusement, mais envoie des sms, est parfois fatigué ou distrait), il y a aussi la chose que je t'ai dite: les maths étant formelles (enfin s'appuyant sur l'infaillibilité du formel), faire dépendre une abréviation de la valeur des objets est un non sens. Une abréviation, c'est de la forme Toto:= GrosTrucLong, indépendamment de leur sens.

@OShine : j'ai transféré l'exercice sur un autre fil.

cc a écrit:

les maths étant formelles (enfin s'appuyant sur l'infaillibilité du formel), faire dépendre une abréviation de la valeur des objets est un non sens. Une abréviation, c'est de la forme Toto:= GrosTrucLong, indépendamment de leur sens.

Plus généralement tu penses évidemment à tous les endroits où on pose une définition et qu'on demande ensuite de montrer que "c'est bien défini".

À priori ce n'est peut être pas "élégant" mais on ne peut pas dire que ce n'est pas rigoureux et surtout c'est plus facile à comprendre.

Enfin il y a des exceptions à la règle comme OShine qui demande encore pourquoi il faut vérifier que c'est indépendant du représentant... mais dans ce cas il a de toute façon plus de chances de comprendre avec la définition standard que tu exècres plutôt qu'avec ça $p:=\{((a,b),c) \in (E\times E)\times E \mid \exists ((x,y),z)\in (a\times b)\times c: x+y=z\}$.

De deux maux il faut choisir le moindre...

Bonjour

Je réponds à

Je ne comprends pas ce que signifie quelque chose de bien défini pour des classes d'équivalence c'est ça mon problème.

Sur $\Z\setminus \{0\} $ je prends la relation d'équivalence qui a deux classes: $\Z^-=\{n|n<0\}$ et $\Z^+=\{n|n > 0\}$ et je définis la loi
$x\oplus y= x-y$. Peut-on définir sur le quotient $cl(x)\oplus cl(y)$ par $cl(x\oplus y)$?