Factorisation d'un polynôme de degré 5
Bonjour, quelqu'un peut-il me dire s'il existe une méthode, en plus d'utiliser le principe d'entité des polynômes, pour factoriser ce polynôme. Nous savons que c'est le produit de 5 termes linéaires. Je parle de la prise en compte Q. Merci beaucoup.
$$ \begin{array}{l}
+48+32x-60x^2-40x^3+12x^4+8x^5\\
-52y+102xy+158x^2y-28x^4y \\
-72y^2-245xy^2-101x^2y^2+22x^3y^2 \\
+127y^3+151xy^3+19x^2y^3 \\
-60y^4-30xy^4+9y^5
\end{array}
$$ Je n'ai vu de méthode nulle part mais je pense qu'il est extrêmement improbable que j'aie trouvé une nouvelle méthode. Cependant ce n'est pas une blague.
Merci d'avance.
a+
Fibonacci
J'ai mis le signe dollar mais ça n'a pas marché
[Je te prierai de ne pas modifier le titre et de ne pas réintroduire une erreur $\LaTeX$ que j'ai corrigée ! AD]
$$ \begin{array}{l}
+48+32x-60x^2-40x^3+12x^4+8x^5\\
-52y+102xy+158x^2y-28x^4y \\
-72y^2-245xy^2-101x^2y^2+22x^3y^2 \\
+127y^3+151xy^3+19x^2y^3 \\
-60y^4-30xy^4+9y^5
\end{array}
$$ Je n'ai vu de méthode nulle part mais je pense qu'il est extrêmement improbable que j'aie trouvé une nouvelle méthode. Cependant ce n'est pas une blague.
Merci d'avance.
a+
Fibonacci
J'ai mis le signe dollar mais ça n'a pas marché
[Je te prierai de ne pas modifier le titre et de ne pas réintroduire une erreur $\LaTeX$ que j'ai corrigée ! AD]
Réponses
-
Bonjour,
Par identification des coefficients. -
Bonsoir.
Normal, il y a un terme illisible par le compilateur :J'ai mis le signe dollar mais ça n'a pas marché
48+32x-60x^2-40x^3+12x^4+8x^5-52y+102xy+158x^2y-28x^4y-72y^2-245xy^2-101x^2y^2+22x^3y^2+127y^3+151xy^3+19x^2^3-60y^4-30xy^4+9y^5
Et justement, le fait que ça apparaisse encadré veut dire qu'il y a un problème d'écriture.
Cordialement. -
Salut AD, merci beaucoup pour la correction.
-
Je connais bien le principe d'identité des polynômes mais dans ce cas ce serait impossible pour moi.
Autre question: comment déterminer si le polynôme est factorisable?
Cordialement
Fibonacci -
Si on peut diviser par un polynôme du type $(ax+by+c)$ fais $x=y$ dans ton polynôme initial.
-
Si factorisation il y a elle est de la forme
$$4(2x+3+a_1y)(x+1+a_2y)(x-1+a_3y)(x+2+a_4 y)(x-2+a_5y).$$ Mais il faudrait que tu nous donnes une bonne raison pour continuer, comme l'origine de la question. -
Si on appelle $P$ le polynôme du premier message on a, si j'ai bien recopié:
$P(X,X)=2(X-1)(X+2)(X+3)(X-4)$
J'imagine que Fibonacci a pris quatre 5 facteurs "simples" du type $(ax+by+c)$ et les a multipliés entre eux.
PS:
J'avais commis une erreur. On pourrait avoir un des facteurs $(ax+by+c)$ qui "devient" une constante dans l'évaluation de $P(X,X)$. (si $b=-a$)
PS2:
A noter qu'on a aussi $P(X,X+1)=0$ -
Par essais-erreurs, j'ai trouvé que ce polynôme est divisible par $Y-X-1$
PS:
Et aussi par $3Y-2X+2$.
PS2: et aussi par $2X-Y+3$
PS3: et aussi par $3Y-2X-4$ -
Avec les observations de FdP sur $P(x,x)$ et les notations $a_i$ ci dessus on trouve que les deux ensembles de nombres suivants $$\{1,-2,3,4,\infty\},\ \{-\frac{3}{a_1+2},\ -\frac{1}{a_2+1},\ \frac{1}{a_3+1},\ -\frac{2}{a_4+1},\ \frac{2}{a_5+2} \}$$ sont les memes. L'observation $P(x,x+1)=0$ (Ah, bravo) donne $ a_2=-1.$ Il n'y a plus que 24 possibilites a explorer. La barbe, assez de temps perdu!
-
Message qui s'est croise avec FdP, dont la patience est recompensee.
-
Quand j'ai compris que Fibonacci avait fabriqué à l'arrache ce polynôme j'ai tenté un coup de bluff (qui a réussi).
Avec un script pour le logiciel GP PARI :for(i=-10,10,for(j=-10,10,if(Mod(P(X,Y),i*X+j*Y-1)==0,print(i," ",j))));
J'ai trouvé le premier facteur.
Après il suffit de remplacer $-1$, successivement par $2,3,-4$
PS. Pour ceux qui voudraient vérifier et qui ont la paresse de saisir le polynôme qui apparait dans le premier message :P(x,y)={48+32*x-60*x^2-40*x^3+12*x^4+8*x^5-52*y+102*x*y+158*x^2*y-28*x^4*y-72*y^2-245*x*y^2-101*x^2*y^2+22*x^3*y^2+127*y^3+151*x*y^3+19*x^2*y^3-60*y^4-30*x*y^4+9*y^5}PS2. Pour ceux qui ne connaissent pas PARI, il y a une commande read pour lire le contenu d'un fichier.
Vous sauvegardez la fonction P dans un fichier texte (sous Windows avec l'extension .txt) par exemple sous le nom poly5.txt et pour que PARI prenne en compte la fonction $P$ :read("poly5.txt"); -
Bonjour,
Avec Matlab :-D:syms x y P(x,y)=48+32*x-60*x^2-40*x^3+12*x^4+8*x^5-52*y+102*x*y+158*x^2*y-28*x^4*y-72*y^2-245*x*y^2-101*x^2*y^2+22*x^3*y^2+127*y^3+151*x*y^3+19*x^2*y^3-60*y^4-30*x*y^4+9*y^5 P(x,y)=Factor(P(x,y))
Réponse:-(2*x - y + 3)*(3*y - 2*x + 2)*(2*x - 3*y + 4)*(x + y - 2)*(x - y + 1)
Cordialement,
Rescassol -
Rescassol:
Tu viens de me faire prendre conscience que je suis un idiot. :-D
PARI sait factoriser aussi directement ce polynôme:factor(P(X,Y));
PS:
ll faut tout de même prendre en compte que PARI ne s'occupe pas de la constante multiplicative.
C'est à dire que si on multiplie entre eux les facteurs trouvés par PARI on va retrouver le polynôme initial à une constante multiplicative près. -
Bonjour, merci à tous. Ma question dépend du fait que je travaille sur une méthode pour factoriser les polynômes en deux variables.
Puis-je savoir comment il peut être établi si le polynôme est factorisable en Q?
Merci beaucoup pour votre précieuse coopération.
Cordialement,
Fibonacci -
Tu prétends travailler sur une méthode de factorisation... mais tu viens quémander une méthode pour savoir si c'est factorisable ?
A priori, les deux questions ne sont pas du même niveau ! Si tu possèdes une méthode de factorisation, tu sais forcément répondre à la question "est-ce factorisable ?" puisque tu peux appliquer la méthode et obtenir (ou non) la factorisation !
Bref, soit c'est un aveu que ta méthode ne fonctionne pas, soit c'est un aveu de non compréhension du problème sur lequel tu poses des questions.
Pour répondre à ta question initiale, même si je ne suis pas un spécialiste, je crois savoir qu'il n'existe pas (à notre connaissance actuelle) d'algorithme de factorisation des polynômes, même à une seule variable, et a fortiori à plusieurs variables.
Si l'on restreint la demande, il me semble que l'on sait en revanche le faire sur les corps finis... mais je ne m'aventurerai pas plus loin, sous peine de dire de grosses bêtises. -
Bisam,
Effectivement, tu t'aventures dans un terrain que tu ne connais pas. J'ai déjà fourni PLUSIEURS réponses à Fibonacci dans le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1937522,1937522#msg-1937522. Parmi lesquelles l'extrait suivant. Je me cite entre `` .....''.
``On comprend vite qu'il (l'ouvrage) s'agit d'un tout petit aperçu et on cherche donc d'autres ressources. La factorisation des polynômes est une activité à part entière. Il faut compter quelques années''.
Et ici, j'insiste sur QUELQUES années. Cela veut dire PLUSIEURS et même BEAUCOUP. -
On peut commencer par étudier le Mignotte, "Mathématiques pour le calcul formel" qui permet d'avoir quelques bases sur le sujet.
-
@gai requin
Et saurais-tu qui il faut mignoter pour le trouver à un prix décent ? ;-)
(avec puf, cela ne semble pas désespéré, cela dit...) -
Claude,
Tu as raison, je m'aventure et parfois m'égare, mais au moins, j'ai conscience de mes limites (:P) -
Bisam,
Oui, oui, j'ai bien vu que tu prenais beaucoup de précautions. Peut-être que j'aurais du tourner ma phrase autrement ?
Gai-Requin
Quand je dis plusieurs années (au pif), j'espère que tu ne penses pas que j'exagère. Si on ouvrait un fil là-dessus (ce que je ne ferais pas), on en prendrait pour plusieurs mois. Te souviens tu de la 2-descente sur les courbes elliptiques rationnelles ?
Note : en principe, lorsque l'on étudie des algorithmes, par exemple des algorithmes de factorisation, on les implémente. J'ai connu un certain nombre de personnes qui se contentaient de faire de l'algorithmique sur papier. Gros avantage : sur papier, ``cela merche toujours''. J'ai aussi connu un certain nombre de personnes (par exemple H. Cohen, mais ce n'est pas le seul), qui jouent le jeu jusqu'au bout. Tout un programme. -
Bisam a écrit:Pour répondre à ta question initiale, même si je ne suis pas un spécialiste, je crois savoir qu'il n'existe pas (à notre connaissance actuelle) d'algorithme de factorisation des polynômes, même à une seule variable
Il ne faut peut-être pas poussé non plus.
http://www.numdam.org/article/RHM_2001__7_1_67_0.pdf
Après, ce n'est pas parce qu'un algorithme existe qu'il a (toujours) un intérêt pratique (voir l'algorithme de factorisation d'entiers naturels par la méthode naïve qui consiste à diviser par tous les entiers inférieurs ou égaux à la racine carrée du nombre à factoriser) -
Bisam,
Bien entendu, il est capital de spécifier le contexte : on factorise sur quoi, dans quoi ? Ici, $\Q[X]$[color=#000000]> Q := RationalField() ; > QX<X> := PolynomialRing(Q) ; > p := NextPrime(10^50) ; > q := NextPrime(10^70) ; > c := p*q ; > c ; 1000000000000000000000000000000000000000000000001510000000000000000003300000000000000000000000000000000000000000000004983 > > time F, u := Factorisation(c * (X^2 - 1)) ; Time: 0.000 > F ; [ <X - 1, 1>, <X + 1, 1> ] > u ; 1000000000000000000000000000000000000000000000001510000000000000000003300000000000000000000000000000000000000000000004983 [/color]Bien entendu, la factorisation retourne DEUX résultats. Ne pas oublier à ``un inversible près de l'anneau de base''. Ici, $u$ pour unit.
Maintenant, contexte $\Z[X]$ :[color=#000000]> Z := IntegerRing() ; > ZX<X> := PolynomialRing(Z) ; > > time F, u := Factorisation(-2*3 * (X^2-1)) ; Time: 0.000 > F ; [ <2, 1>, <3, 1>, <X - 1, 1>, <X + 1, 1> ] > u ; -1 [/color]Même topo : toujours à un inversible près de l'anneau de base.
Et enfin, je termine par[color=#000000]time F, u := Factorisation(c * (X^2-1)) ; [/color]
Je termine : façon de parler. Car au bout de 20 minutes, rien. Je vais interrompre de force le programme qui s'est embarqué dans la factorisation de $c$ dans $\Z$. Bilan : dans un tel langage, les déclarations (typage) sont capitales. -
Bonjour, j'ai factorisé le polynôme que j'ai présenté et je sais comment déterminer si un polynôme n'est pas factorisable. Ma méthode pour déterminer si un polynôme est factorisable ne me semble pas satisfaisante. Je ne suis pas sûr que ce soit toujours valable. Avec ma méthode j'ai factorisé, en plus du polynôme présenté, aussi $x ^ 4-7x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4$ et ceci à la fois en Q et en R. Ma méthode me permet de factoriser des polynômes quand ce sont des produits de facteurs linéaires en Q Depuis que j'ai repris les maths après une longue période il y a des concepts que je n'ai plus clairs mais cela ne m'empêche pas de trouver souvent des résultats intéressants (toujours au lycée). Je comprends votre scepticisme, des génies présumés incompris apparaissent souvent sur Internet. Je suis simplement un prof. retraité depuis longtemps, il se lance dans les mathématiques et trouve souvent des résultats inconnus.
Quant au polynôme montré, je l'ai factorisé avec beaucoup de patience en appliquant ma méthode qui fait partie d'un article presque prêt et je pense que c'est déjà un bon résultat. Je demande de l'aide sur ce forum car il y a des gens gentils et très préparés.
Cordialement.
Fibonacci -
Fibonacci
Je pense que cela serait mieux, au lieu de t'adresser au forum, que tu contactes des experts de la factorisation des polynômes. C'est un métier à part entière. Tu dois pouvoir trouver des pointeurs sur le net. Par exemple http://www.ens-lyon.fr/LIP/Arenaire/EVA-Flo/EVA-Flo-reunion5-AN.pdf, https://aimath.org/pastworkshops/polyfactorrep.pdf ...etc...
Mais, mais, attention quand tu t'adresses à un expert qui bosse sur le sujet depuis 10 ans : la probabilité est grande qu'il ne te réponde pas. -
On peut aussi demander à Fibonacci ce qu'il a lu sur le sujet ou ce qu'il compte lire.
PS:
Ce cours explicite un algorithme de factorisation de polynômes à coefficients entiers. -
Des extraits bibliographiques (avec des recoupes car provenant de deux chapitres d'un système de Calcul Formel).
-
Bonjour
je m'étonne de certaines phrases de notre ami Claude Quitté, je cite :
"la factorisation des polynômes est un métier à part entière" , "qui correspond à une activité sur beaucoup d'années"
"lorsqu'on s'adresse à un expert de la factorisation des polynômes, la probabilité est grande qu'il ne réponde pas"
et notre ami pour faire bonne mesure, termine par une liste de 25 ouvrages de référence tous en langue anglaise
pourquoi autant de condescendance ? où est le souci pédagogique dans tout cela ?
notre ami Fibonacci est prof retraité,
il suggère modestement une méthode de factorisation fruit de ses recherches personnelles
il ne mérite pas une telle réponse snobinarde
cordialement
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Bonjour!
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