Image d'un morphisme d'algèbre

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice et je ne comprends pas la correction de la question 1. Je ne vois pas en quoi les 2 conditions données permettent de conclure :-S

Aussi, dans la question 1 pourquoi on prend une sous-algèbre et pas une algèbre ? Ca change quelque chose ?

Je ne comprends pas pourquoi le corrigé parle de morphisme d'espaces vectoriels alors qu'il ne le définit pas dans le cours. Même sur internet je ne trouve rien dessus.

Ma proposition de réponse :

Soit $A$ une sous-algèbre, et $f : A \longrightarrow B$.

Montrons que $f(A)$ est une sous-algèbre de $B$.

$f(1_A)=1_B$ donc $1_B \in f(A)$
$\forall (x,y) \in A^2 \ f(xy)=f(x)f(y) \in B $ car $xy \in A$ car $A$ est une algèbre donc $f(A)$ est stable par produit.

On a $\forall (x,y) \in A^2 \ f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+ \mu f(y)$ et comme $\lambda x+\mu y \in A$ car $A$ est un espace vectoriel alors $\lambda f(x)+ \mu f(y) \in f(A)$

Ma démonstration est-elle correcte ?116050

Réponses

  • noobey
    noobey
    Non tu as $f : A \to B$ un morphisme d'algèbres et si $A' \subset A$ est une sous-algèbre de $A$, tu veux montrer que $\phi(A')$ est une sous algèbre de $B$.

    Morphisme d'espaces vectoriels = application linéaire.
  • OShine
    OShine
    Ok merci.

    On remarque que $f(A') \subset f(B)$
    $A'$ est une sous-algèbre de $A$ donc $A'$ est un sous-espace vectoriel tel que :

    i) $1_A \in A'$
    ii) $\forall (x,y) \in A' ^2 \ xy \in A'$
    iii) $\forall \lambda,\mu \in \K \ \lambda x+\mu y \in A'$

    Montrons que $f(A')$ est une sous-algèbre de $B$.

    i) $1_B=f(1_A)$ donc $1_B \in f(A')$
    ii) $\forall x,y \in A' \ f(xy)=f(x)f(y) $ où $xy \in A'$ donc $f(A')$ est stable par multiplication.
    iii) $\forall \lambda,\mu \in \K \ f(\lambda x+\mu y)= \lambda f(x) + \mu f(y)$ où $\lambda x+\mu y \in A'$ donc $f(A')$ est stable par combinaison linéaire.

    $f(A')$ est bien une sous-algèbre de $f(B)$.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Sous-algèbre de $B$, pas de $f(B)$ (pas de sens)
  • OShine
    OShine
    Oui erreur de ma part merci.
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