Image d'un morphisme d'algèbre
Bonsoir,
Je bloque sur cet exercice et je ne comprends pas la correction de la question 1. Je ne vois pas en quoi les 2 conditions données permettent de conclure :-S
Aussi, dans la question 1 pourquoi on prend une sous-algèbre et pas une algèbre ? Ca change quelque chose ?
Je ne comprends pas pourquoi le corrigé parle de morphisme d'espaces vectoriels alors qu'il ne le définit pas dans le cours. Même sur internet je ne trouve rien dessus.
Ma proposition de réponse :
Soit $A$ une sous-algèbre, et $f : A \longrightarrow B$.
Montrons que $f(A)$ est une sous-algèbre de $B$.
$f(1_A)=1_B$ donc $1_B \in f(A)$
$\forall (x,y) \in A^2 \ f(xy)=f(x)f(y) \in B $ car $xy \in A$ car $A$ est une algèbre donc $f(A)$ est stable par produit.
On a $\forall (x,y) \in A^2 \ f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+ \mu f(y)$ et comme $\lambda x+\mu y \in A$ car $A$ est un espace vectoriel alors $\lambda f(x)+ \mu f(y) \in f(A)$
Ma démonstration est-elle correcte ?
Je bloque sur cet exercice et je ne comprends pas la correction de la question 1. Je ne vois pas en quoi les 2 conditions données permettent de conclure :-S
Aussi, dans la question 1 pourquoi on prend une sous-algèbre et pas une algèbre ? Ca change quelque chose ?
Je ne comprends pas pourquoi le corrigé parle de morphisme d'espaces vectoriels alors qu'il ne le définit pas dans le cours. Même sur internet je ne trouve rien dessus.
Ma proposition de réponse :
Soit $A$ une sous-algèbre, et $f : A \longrightarrow B$.
Montrons que $f(A)$ est une sous-algèbre de $B$.
$f(1_A)=1_B$ donc $1_B \in f(A)$
$\forall (x,y) \in A^2 \ f(xy)=f(x)f(y) \in B $ car $xy \in A$ car $A$ est une algèbre donc $f(A)$ est stable par produit.
On a $\forall (x,y) \in A^2 \ f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+ \mu f(y)$ et comme $\lambda x+\mu y \in A$ car $A$ est un espace vectoriel alors $\lambda f(x)+ \mu f(y) \in f(A)$
Ma démonstration est-elle correcte ?
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Réponses
Morphisme d'espaces vectoriels = application linéaire.
On remarque que $f(A') \subset f(B)$
$A'$ est une sous-algèbre de $A$ donc $A'$ est un sous-espace vectoriel tel que :
i) $1_A \in A'$
ii) $\forall (x,y) \in A' ^2 \ xy \in A'$
iii) $\forall \lambda,\mu \in \K \ \lambda x+\mu y \in A'$
Montrons que $f(A')$ est une sous-algèbre de $B$.
i) $1_B=f(1_A)$ donc $1_B \in f(A')$
ii) $\forall x,y \in A' \ f(xy)=f(x)f(y) $ où $xy \in A'$ donc $f(A')$ est stable par multiplication.
iii) $\forall \lambda,\mu \in \K \ f(\lambda x+\mu y)= \lambda f(x) + \mu f(y)$ où $\lambda x+\mu y \in A'$ donc $f(A')$ est stable par combinaison linéaire.
$f(A')$ est bien une sous-algèbre de $f(B)$.