Dimensions d'une somme de s.e.v.
Bonjour à tous,
je dispose d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, ainsi que de trois sous-espaces vectoriels $F,G,H$.
L'égalité suivant est elle correcte :
$$\dim(F+G+H)=\dim(F)+\dim(G)+\dim(H)\\-\dim(F \cap G)-\dim(F \cap H)-\dim'G \cap H)+\dim(F \cap G \cap H).
$$ Il me semble que cette égalité est équivalente au fait que $(F+G) \cap H=F \cap H +G \cap H$, cette dernière égalité me semblant douteuse ...
Bonne journée
F.
je dispose d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, ainsi que de trois sous-espaces vectoriels $F,G,H$.
L'égalité suivant est elle correcte :
$$\dim(F+G+H)=\dim(F)+\dim(G)+\dim(H)\\-\dim(F \cap G)-\dim(F \cap H)-\dim'G \cap H)+\dim(F \cap G \cap H).
$$ Il me semble que cette égalité est équivalente au fait que $(F+G) \cap H=F \cap H +G \cap H$, cette dernière égalité me semblant douteuse ...
Bonne journée
F.
Réponses
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Tu as raison, elle est douteuse, sinon tout le monde comprendrait la mécanique quantique :-D
En additionnant 2 droites, tu peux obtenir le plan tout entier (qui contient une troisième droite) alors que cette troisième est d'intersection nulle avec les deux autres.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
Le problème avec le treillis des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel, c'est qu'il n'est pas distributif : on n'a pas $(F+G)\cap H= (F\cap H)+(G\cap H)$, comme tu l'as bien remarqué. Dommage !
Le type de formule que tu cites marche pour les applications $f$ à valeurs dans un monoïde commutatif définies sur un treillis distributif qui vérifient $f(a\vee b)+f(a\wedge b)=f(a)+f(b)$.
Exemple : le treillis $\mathbb N$ pour la relation de divisibilité, avec l'application identique à valeurs dans le monoïde multiplicatif $\mathbb N$. -
Moi aussi j'ai répondu à la dernière phrase évidemment.
AVEC LES DIM je ne sais pas sans me concentrer car de tête.... Certes on peut prendre des bases ADAPTÉES qui ont tendance parfois à effacer les espaces pour les faire se comporter comme des ensembles.
Vue la fulgurance habituelle de NoName (il a une VUE) s'il a effacé son post, c'est à prendre au sérieux.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Autres exemples classiques avec des formules d'inclusion-exclusion :
Treillis des parties finies d'un ensemble, cardinal des parties
Treillis des événements d'un espace probabilisé, probabilité des événements -
@GBZM: il y a une ambiguité en fait. J'ai répondu comme toi au départ, mais malavita demande "avec des dim". (Je ne parle pas de son affirmation d'équivalence).
Bon après son latex sort de l'écran, il devrait réécrire sa question.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@christophe : il suffit de prendre 3 droites vectorielles coplanaires pour voir que ça ne marche pas.
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Non mais tu parles de la formule VISIBLE à l'écran, mais il est évident qu'il a rajouté le truc que tu imagines, c'est juste que son latex sort de la fenêtre. Ou c'est moi qui délire peut-être? (Ca se peut tout à fait que je délire, je précise)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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$dim(F+G+H)=dim(F)+dim(G)+dim(H)$
$-dim(F \cap G)-dim(F \cap H)-dim'G \cap H)$
$+dim(F \cap G \cap H)$
:-D J'ai fait l'effort de cliquer sur "citer" :-D J'avoue que j'aurais pu me casser la tête... Pardon.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe, la formule avec les dimensions est ce qu'on attendrait des formules d'inclusion-exclusion en partant de $\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$.
Ce que je dis, c'est que cette formule d'additivité entraîne les formules d'inclusion-exclusion quand on part d'un treillis distributif, mais qu'ici le treillis des sous-espaces n'est pas distributif.
Comme exemple avec treillis distributif, je donnais :
$$ \mathrm{ppcm}(a,b,c)= \dfrac{a\times b\times c\times \mathrm{pgcd}(a,b,c)}{\mathrm{pgcd}(a,b)\times \mathrm{pgcd}(b,c)\times\mathrm{pgcd}(c,a)}\;.$$ -
De mon téléphone. Oui merci, je t'avais lu.
En fait dans ma flemme, n'ayant pas lu la formule avec les DIM je l'ai automatiquement traduite en "exist t il une formule qui prend en entrées les dim des intersections éventuellement large et des sommes strictes de la liste et renvoie la dim de la somme?"
Mais j'ai été trop négligent.
En te lisant j'ai pris conscience que ça marche par contre avec + et inter pour les idéaux de Z, sauf erreur. Vue comme ça la principalite (idem sauf erreur)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Etant sur mon pc, je précise l'attitude que j'ai eue lors de ce fil.
Etant donnée une liste finie de sev d'une espace de dimension finie, et quand on connait toutes les dimensions des intersections des sous-listes et des sommes des sous-listes edit sauf une, peut-on deviner, sans connaitre les espaces, la dimension manquante?
Et la réponse est non, avec l'exemple déjà donné (celle que j'ai répondue tout au début que Blaise a rappelé, etc)
Même si la seule chose qu'on ne connait pas (dans ces informations) c'est $dim(D_1+D_2+D_3)$, aucun moyen de dire si c'est 2 ou si c'est 3.
A l'occasion du fil (et si j'ai bien lu, car je vais un peu vite), GBZM nous a appris que (par exemple), si on obtient un multiple de 12 en additionnant un multiple de $5$ et un multiple de $20$, les termes en question peuvent être choisie multiples de 12. Merci pour cette info (si je ne me trompe pas)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je pense que tu n'as pas du tout compris ce que je voulais dire. Ou bien je me suis mal exprimé, ou bien ...
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Si si t'inquiète, j'ai compris**, sauf peut-être sur ma traduction hâtive concernant la divisibilité dans $\Z$. Mais comme j'ai fait autre chose, je n'ai pas encore eu le temps de vérifier en détail.
** y compris "formule célèbre => distributivité"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Précision: je sais que ce n'est pas du tout le principal dans ce que tu disais aux autres, mais j'ai pris cette info "pour moi" comme la plus importante, étant relativement habitué au reste. Je regarderai les détails, ça m'a émuAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonsoir à tous et merci pour vos répondes.
Sur ce je vais aller jeter un oeil sur les treillis distributifs ;-)
Bonne soirée
F. -
Avant de faire autre chose, je fais l'exercice de prouver l'un des énoncés signalés par GBZM, qui m'a marqué.
Soient $A,B,X$ des idéaux de $\Z$. Alors $(A+B)\cap X \subset (A\cap X)+(B\cap X)$.
1/ $\Z$ étant principal, on a des générateurs $a,b,x,d,kd$ respectivement pour $A,B,X,A+B, ((A+B)\cap X)$
2/ En outre, on peut écrire, avec des bons $u,v,r,s$ : $a=ud$ et $b=vd$ et $d=ra + sb$
3/ Il suit $d = rud + svd$ donc $ru+sv=1$
4/ Donc $rukd + svkd =kd$ et $rukd \in (A\cap X)$ et $svkd\in (B\cap X)$
5/ Donc $kd\in ((A\cap X)+(B\cap X))$.
Remarque: le résultat vaut dans tout anneau de Bezout, (ie dont les idéaux finiment engendrés sont principaux et qui est intègre). J'ai utilisé l'intégrité à un moment.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
CC
Juste pour info. Mots-clés : anneau arithmétique, treillis distributif. Pas besoin d'intégrité. J'attache une page qui vient de nous autres. Etude initiée il y a plus d'un siècle par l'école allemande avec deux gars, l'un nommé Dedekind (1831-1916), Prüfer (1896-1934). Juste pour dire que cela ne date pas dhier.
En passant (ce n'est pas étranger à cette histoire). Savais tu que pour $a, b \in \Z$:
$$
\gcd(a^2, ab, b^2) = \gcd(a^2, b^2)
\qquad
\begin {array}{l}
\text{ou encore (c'est pareil),} \\
\text{en termes d'idéaux} \\
\end {array}
\qquad
\langle a,b\rangle^2 = \langle a^2, b^2\rangle \qquad \text{et même que} \qquad
\langle a,b\rangle^n = \langle a^n, b^n\rangle
$$ -
On peut aller du côté du treillis des idéaux de type fini. On peut aussi aller du côté du treillis distributif donné par la relation de divisibilité sur un anneau factoriel.
Pour tout anneau factoriel on a clairement $\mathrm{pgcd}(a^n,a^{n-1}b,\ldots,b^n)=\mathrm{pgcd}(a^n,b^n)=\left(\mathrm{pgcd}(a,b)\right)^n$. -
Un grand merci à tous deux: je les ai comptés, ça fait 10 propriétés équivalentes, dont ... la 6b!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@ Claude Quitté
J'aimerais bien connaître l'ouvrage d'où est extraite cette page. Merci. -
Chaurien,
En principe, mais je n'ai pas lu la Charte, je n'ai pas le droit de nous faire de la publicité. Je procède indirectement : chez Calvage & Mounet, http://www.calvage-et-mounet.fr/, regarde la collection ``Mathématiques en devenir'', deuxième ligne, premier livre à gauche.
Cf aussi https://arxiv.org/pdf/1611.02942.pdf -
Je ne pense pas que ce soit un problème, claude quitté.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Claude Quitté, je suis certain que si tu informes sans détour sur un livre dont tu es l'auteur tous les membres du forum prendront ceci, à juste titre, pour une information et non de la publicité.
Bien cordialement,
Fr. Ch. -
De toute façon, on peut faire autant de pub qu'on veut pour les livres sérieux, personne ne s'enrichit en écrivant de tels livres. L'auteur prend grand max 2000 euros après très longtemps et l'éditeur a un tel taf que ce qu'il prend ou du bénévolat c'est un peu pareil, en gros ça paye les frais.
De plus, il y a des sociétés qui se gênent pas pour faire payer (je me suis retrouvé à devoir payer pour lire mon propre article une fois, bin, ils sont allés se faire f....e) et pas une petite somme. Je les maudis, ce sont des arnaqueurs pour le coup.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@GBZM: je n'ai réalisé que cet après midi au fait que c'est par coincidence (sur les bons anneaux, mais pas sur tous) que j'ai interprété ton treillis comme un "+,inter" sur idéaux. Je comprends mieux ta remarque. ;-)
Bon bin, on a gagné des infos complémentaires du coup!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Le treillis distributif n'est qu'un côté de l'histoire. Le côté sur lequel je voulais insister, c'est l'application $f$ du treillis distributif dans un monoïde commutatif vérifiant $f(a)+f(b)=f(a\vee b)+f(a\wedge b)$.
Autre exemple :
- le treillis des compacts sympas de $\mathbb R^n$, $f = $ la caractéristique d'Euler-Poincaré à valeurs dans $(\mathbb Z,+)$.
Dans la même veine, mais en plus chiadé, il y avait le "cardinal quantitatif" de GF (très vieille discussion sur le forum que je ne retrouve plus, mais dont les anciens se souviennent peut-être) sur le treillis des unions finies de compacts convexes de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $(\mathbb R[X],+)$. -
Est-ce que moyennant JUSTE ces hypothèses, treillis + fonction vérifiant ta formule, tu DEDUIS que le treillis est distributif, ou il y a des "chouyas" à rajouter?
(Je précise que c'est peut-être simple, je n'ai pas regardé).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Mais non, absolument pas ! Relis le début du fil.
-
Merci, je vais relire doucement à tête reposée.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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