Dimensions d'une somme de s.e.v.
Bonjour à tous,
je dispose d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, ainsi que de trois sous-espaces vectoriels $F,G,H$.
L'égalité suivant est elle correcte :
$$\dim(F+G+H)=\dim(F)+\dim(G)+\dim(H)\\-\dim(F \cap G)-\dim(F \cap H)-\dim'G \cap H)+\dim(F \cap G \cap H).
$$ Il me semble que cette égalité est équivalente au fait que $(F+G) \cap H=F \cap H +G \cap H$, cette dernière égalité me semblant douteuse ...
Bonne journée
F.
je dispose d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, ainsi que de trois sous-espaces vectoriels $F,G,H$.
L'égalité suivant est elle correcte :
$$\dim(F+G+H)=\dim(F)+\dim(G)+\dim(H)\\-\dim(F \cap G)-\dim(F \cap H)-\dim'G \cap H)+\dim(F \cap G \cap H).
$$ Il me semble que cette égalité est équivalente au fait que $(F+G) \cap H=F \cap H +G \cap H$, cette dernière égalité me semblant douteuse ...
Bonne journée
F.
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Réponses
En additionnant 2 droites, tu peux obtenir le plan tout entier (qui contient une troisième droite) alors que cette troisième est d'intersection nulle avec les deux autres.
Le problème avec le treillis des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel, c'est qu'il n'est pas distributif : on n'a pas $(F+G)\cap H= (F\cap H)+(G\cap H)$, comme tu l'as bien remarqué. Dommage !
Le type de formule que tu cites marche pour les applications $f$ à valeurs dans un monoïde commutatif définies sur un treillis distributif qui vérifient $f(a\vee b)+f(a\wedge b)=f(a)+f(b)$.
Exemple : le treillis $\mathbb N$ pour la relation de divisibilité, avec l'application identique à valeurs dans le monoïde multiplicatif $\mathbb N$.
AVEC LES DIM je ne sais pas sans me concentrer car de tête.... Certes on peut prendre des bases ADAPTÉES qui ont tendance parfois à effacer les espaces pour les faire se comporter comme des ensembles.
Vue la fulgurance habituelle de NoName (il a une VUE) s'il a effacé son post, c'est à prendre au sérieux.
Treillis des parties finies d'un ensemble, cardinal des parties
Treillis des événements d'un espace probabilisé, probabilité des événements
Bon après son latex sort de l'écran, il devrait réécrire sa question.
:-D J'ai fait l'effort de cliquer sur "citer" :-D J'avoue que j'aurais pu me casser la tête... Pardon.
Ce que je dis, c'est que cette formule d'additivité entraîne les formules d'inclusion-exclusion quand on part d'un treillis distributif, mais qu'ici le treillis des sous-espaces n'est pas distributif.
Comme exemple avec treillis distributif, je donnais :
$$ \mathrm{ppcm}(a,b,c)= \dfrac{a\times b\times c\times \mathrm{pgcd}(a,b,c)}{\mathrm{pgcd}(a,b)\times \mathrm{pgcd}(b,c)\times\mathrm{pgcd}(c,a)}\;.$$
En fait dans ma flemme, n'ayant pas lu la formule avec les DIM je l'ai automatiquement traduite en "exist t il une formule qui prend en entrées les dim des intersections éventuellement large et des sommes strictes de la liste et renvoie la dim de la somme?"
Mais j'ai été trop négligent.
En te lisant j'ai pris conscience que ça marche par contre avec + et inter pour les idéaux de Z, sauf erreur. Vue comme ça la principalite (idem sauf erreur)
Etant donnée une liste finie de sev d'une espace de dimension finie, et quand on connait toutes les dimensions des intersections des sous-listes et des sommes des sous-listes edit sauf une, peut-on deviner, sans connaitre les espaces, la dimension manquante?
Et la réponse est non, avec l'exemple déjà donné (celle que j'ai répondue tout au début que Blaise a rappelé, etc)
Même si la seule chose qu'on ne connait pas (dans ces informations) c'est $dim(D_1+D_2+D_3)$, aucun moyen de dire si c'est 2 ou si c'est 3.
A l'occasion du fil (et si j'ai bien lu, car je vais un peu vite), GBZM nous a appris que (par exemple), si on obtient un multiple de 12 en additionnant un multiple de $5$ et un multiple de $20$, les termes en question peuvent être choisie multiples de 12. Merci pour cette info (si je ne me trompe pas)
** y compris "formule célèbre => distributivité"
Sur ce je vais aller jeter un oeil sur les treillis distributifs ;-)
Bonne soirée
F.
Soient $A,B,X$ des idéaux de $\Z$. Alors $(A+B)\cap X \subset (A\cap X)+(B\cap X)$.
1/ $\Z$ étant principal, on a des générateurs $a,b,x,d,kd$ respectivement pour $A,B,X,A+B, ((A+B)\cap X)$
2/ En outre, on peut écrire, avec des bons $u,v,r,s$ : $a=ud$ et $b=vd$ et $d=ra + sb$
3/ Il suit $d = rud + svd$ donc $ru+sv=1$
4/ Donc $rukd + svkd =kd$ et $rukd \in (A\cap X)$ et $svkd\in (B\cap X)$
5/ Donc $kd\in ((A\cap X)+(B\cap X))$.
Remarque: le résultat vaut dans tout anneau de Bezout, (ie dont les idéaux finiment engendrés sont principaux et qui est intègre). J'ai utilisé l'intégrité à un moment.
Juste pour info. Mots-clés : anneau arithmétique, treillis distributif. Pas besoin d'intégrité. J'attache une page qui vient de nous autres. Etude initiée il y a plus d'un siècle par l'école allemande avec deux gars, l'un nommé Dedekind (1831-1916), Prüfer (1896-1934). Juste pour dire que cela ne date pas dhier.
En passant (ce n'est pas étranger à cette histoire). Savais tu que pour $a, b \in \Z$:
$$
\gcd(a^2, ab, b^2) = \gcd(a^2, b^2)
\qquad
\begin {array}{l}
\text{ou encore (c'est pareil),} \\
\text{en termes d'idéaux} \\
\end {array}
\qquad
\langle a,b\rangle^2 = \langle a^2, b^2\rangle \qquad \text{et même que} \qquad
\langle a,b\rangle^n = \langle a^n, b^n\rangle
$$
Pour tout anneau factoriel on a clairement $\mathrm{pgcd}(a^n,a^{n-1}b,\ldots,b^n)=\mathrm{pgcd}(a^n,b^n)=\left(\mathrm{pgcd}(a,b)\right)^n$.
J'aimerais bien connaître l'ouvrage d'où est extraite cette page. Merci.
En principe, mais je n'ai pas lu la Charte, je n'ai pas le droit de nous faire de la publicité. Je procède indirectement : chez Calvage & Mounet, http://www.calvage-et-mounet.fr/, regarde la collection ``Mathématiques en devenir'', deuxième ligne, premier livre à gauche.
Cf aussi https://arxiv.org/pdf/1611.02942.pdf
-- Schnoebelen, Philippe
Bien cordialement,
Fr. Ch.
De plus, il y a des sociétés qui se gênent pas pour faire payer (je me suis retrouvé à devoir payer pour lire mon propre article une fois, bin, ils sont allés se faire f....e) et pas une petite somme. Je les maudis, ce sont des arnaqueurs pour le coup.
Bon bin, on a gagné des infos complémentaires du coup!!
Autre exemple :
- le treillis des compacts sympas de $\mathbb R^n$, $f = $ la caractéristique d'Euler-Poincaré à valeurs dans $(\mathbb Z,+)$.
Dans la même veine, mais en plus chiadé, il y avait le "cardinal quantitatif" de GF (très vieille discussion sur le forum que je ne retrouve plus, mais dont les anciens se souviennent peut-être) sur le treillis des unions finies de compacts convexes de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $(\mathbb R[X],+)$.
(Je précise que c'est peut-être simple, je n'ai pas regardé).