Un exo d'Ulm un peu tordu
Bonjour aux algébristes du mardi
`Montrer que si $A\in M(n,\R)$ vérifie $a_{i,i}=1$ et ${\color{red}{|}}a_{i,j}{\color{red}{|}}\leq1/\sqrt n$ pour $i\neq j$, alors son rang est $\geq n/4$.
Toute indication, même naïve, serait pour moi la bienvenue.
Cordialement,
Yvette.
[Correction en rouge, selon le message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2167404,2167524#msg-2167524 AD]
`Montrer que si $A\in M(n,\R)$ vérifie $a_{i,i}=1$ et ${\color{red}{|}}a_{i,j}{\color{red}{|}}\leq1/\sqrt n$ pour $i\neq j$, alors son rang est $\geq n/4$.
Toute indication, même naïve, serait pour moi la bienvenue.
Cordialement,
Yvette.
[Correction en rouge, selon le message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2167404,2167524#msg-2167524 AD]
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Réponses
On peut supposer que $n=4m$, quitte à tronquer la matrice. On essaye de montrer que les $m$ premières lignes sont linéairement indépendantes. Alors on met la matrice sous forme échelonnée. La première étape consiste à remplacer pour tout $i\geqslant 2$ la ligne $L_i$ par $L_i-a_{i1}L_1$. Les coefficients de la matrice $(a_{ij})_{i,j\geqslant 2}$ sont perturbés d'au plus $\frac{1}{4m}$. On continue... Et je ne sais pas si ça marche à la fin.
Edit : en fait je crois que ça ne mène à rien.
Je pense que marco et side vont remarquer cette question et qu'ils vont la mitrailler avec leur puissance :-D
si, si, il y a bien une valeur absolue (je viens de vérifier dans la RMS de janvier 19).
Yvette : si tu as mon livre sur les ev préhilbertiens, j'arrive pour le même prix à minorer le rang par $n/2$. Un tuyau pour aborder l'exo : écris que $AX=0$ ssi $(I-A)X=X$ et ensuite un p'tit coup de Cauchy-Schwarz. Je l'ai sélectionné dans mes exos car le ressort en est vraiment euclidien.
Amitiés à tous, j__j
Pardon
oui j'ai oublié de mettre des valeurs absolues autour des $a_{ij}$...
Hélas, je n'ai pas ton bouquin John. Peut-on le télécharger sur un site russe? Ou bien le recevoir en cadeau? :-D
Je crois avoir un idée. Dire que les composantes d'un vecteur unitaire quelconque d'un sev sont majorées en valeur absolue entraîne une majoration de sa dimension.
Cordialement
Yvette
Un site russe : on peut toujours tenter... Video meliora proboque, deteriora sequor.
Quant à ta question : oui, tu as bien vu ; si un sev de $\R^n$ est de dimension trop grande (par rapport à $n$), on trouvera facilement une CL de vecteurs d'une BON d'icelui qui soit elle-même de norme $1$ et dont une des composantes dépasse (en valeur absolue) la majoration $1/\sqrt2$ fournie par les Sieurs Cauchy et Schwarz. À toi de conclure à présent.
À propos : en quoi cet énoncé est-il tordu ? Je le trouve joli au contraire.
Je ne dis pas pour autant que ça va donner une preuve, mais JJ en a fourni une.
Bonsoir, Christophe,
je pense que notre amie parlait de la dimension du sev ; du moins, c'est ainsi que j'ai compris la question.
$$\textrm{rg} \, (A) \geqslant \frac{\left| \textrm{tr} (A) \right|^2}{\| A \|_{\textrm{F}}^2}$$
où $\| \dotsc \|_{\textrm{F}}$ est la norme de Frobenius. Avec les hypothèses de l'énoncé, on a sauf erreur
$$n \leqslant \| A \|_{\textrm{F}}^2 \leqslant 2n-1$$
de sorte que $\textrm{rg} \, (A) \geqslant \frac{1}{2}n$.
Edit. Correction effectuée après les messages de Lou16 et John_john plus bas, que je remercie.
Bonne soirée, j__j
L'inégalité (que je ne connaissais pas) de Noix de Totos, est bien adaptée au problème initial mais donne, pour la matrice $A$ de ce dernier:
$$\mathrm {rg}(A)\geqslant \dfrac {n^2}{2n-1}\:\text{ et non }\:\mathrm {rg}(A)\geqslant \dfrac {2n^2}{3n-1}.$$Soit $A \in \mathcal M_n (\C), \:\: r= \mathrm {rg}(A).\:\:$ On a: $\:\: \ker A =\ker A^*A, \:\: r = \mathrm {rg}(A^*A).$
$\exists P \in \mathcal U_n(\C),\:\: A^*A =P \begin{pmatrix}D&0\\0&0 \end{pmatrix}P^*,\:\:\: D\in \mathrm {GL}_r(\C).\:\:\: \ker A =\ker A^*A,\:\:$ donc: $\: A =P \begin{pmatrix}B&0\\C&0 \end{pmatrix}P^*,\:\: B \in \mathrm {GL}_r (\C).$
Ainsi : $ \:\: A^*=P \begin{pmatrix}B^*&C^*\\0&0 \end{pmatrix}P^*, \:\:AA^*=P \begin{pmatrix}BB^*&BC^*\\CB^*&CC^*\end{pmatrix}P^*, \qquad \mathrm {Tr}(AA^*)=\mathrm {Tr} (BB^*)+ \mathrm {Tr}(CC^*) \quad (1).$
$|\mathrm{Tr}(A) |^2=|\mathrm{Tr}(B) |^2=\left|\displaystyle \sum _{i=1}^r b_{ii}\right| ^2\leqslant r \displaystyle \sum _{i=1} ^r |b_{ii}| ^2\leqslant r \mathrm{Tr}(BB^*)\leqslant r\left( \mathrm{Tr}(BB^*)+\mathrm{Tr}(CC^*) \right) \overset {(1)} = r\mathrm{Tr}(AA^*) = r \|A\|_F^2.$
$$\left|\mathrm {Tr}(A) \right| ^2 \leqslant \mathrm {rg}(A)\: \|A\|_F^2.$$
effectivement, mon indication n'était vraiment pas commode à manipuler ; procédons plutôt par majoration de la dimension en fonction du majorant imposé (et non pas l'inverse). Si $E$ est un sev de $\R^n$ dans lequel tous les vecteurs unitaires ont leurs composantes majorées en valeur absolue par $\alpha\in]0,1[$, alors la dimension $p$ de $E$ est $\leqslant n\alpha^2$.
Tu prends une b.o.n. $(x_1,...,x_p)$ de $E$ et écris $x_1={}^t\!(x_{1,1},...,x_{n,1})$, etc. Pose $\nu_1=\sqrt{x_{1,1}^2+\cdots+x_{1,p}^2}$ (=la norme de la première ligne de la matrice canonique $M$ des $x_\ell$) et considère $\xi_1=(x_{1,1}x_1+\cdots+x_{1,p}x_p)/\nu_1$ ; c'est un vecteur unitaire dans $E$ et cela montre que $\nu_1\leqslant\alpha$ puisque $\nu_1$ est la première composante de $\xi_1$. Fais de m\^eme avec les autres lignes de $M$ puis additionne, ce qui donne $\sum\nu_\ell^2\leqslant n\alpha^2$. Or, cette somme n'est autre que $p$.
Bien cordialement, j__j
Yvette ne nous a toujours pas prouvé la torsion (sic !) de cet exercice !! au contraire, ces échanges sont intéressants, non ? Certes, on me dira que l'un n'empêche pas l'autre.
Quant aux inégalités de ce type, il y a en d'autres, comme par exemple
$$\textrm{rg} \, (A) \geqslant \frac{2 \left\{ \textrm{Re} \left( \textrm{tr}A \right) \right\}^2}{\|A\|_{\textrm{F}}^2 + \textrm{Re} \left( \textrm{tr} (A^2) \right)}
$$ ou
$$\textrm{rg} \, (A) \geqslant \frac{\| A \|_{\textrm{F}}^4}{\textrm{tr} \left( \left( A^\star A\right)^2 \right)}.$$
@Noix de Totos
Il m'a semblé que les conditions sur $A, \:\: a_{ii} = 1, \:\:i\neq j \implies |a_{ij} |\leqslant \dfrac 1{\sqrt n}$ donnaient bien :
$$\mathrm {Tr}(A) = n,\:\: \:\:\|A\|_F^2= \displaystyle \sum_{0\leqslant i,j\leqslant n} a_{ij}^2 \leqslant n +\dfrac {n(n-1)}n =2n-1 ,\:\: \:\:\:\mathrm {rg(A)} \geqslant \dfrac {n^2}{2n-1}.$$
Dans le corrigé de la RMS, on parvient seulement à $n/4$ parce que l'on applique l'inégalité de NDT à $A+{}^t\!A$, ce qui explique qu'elle est deux fois moins bonne, mais cela suffisait pour répondre à la question posée.
Je ne sais pas ce que j'ai fait l'autre jour...
Side : c'est bon pour toi ?
J'ai suivi avec des moments de relâchement le fil. Fil dont je me félicite.
J'avais à un moment la même question que Guego, mais John a donné la réponse.
La question qui reste à poser : est-ce que JJ fait partie du jury de la rue d'Ulm ?
Un démenti peut paradoxalement indiquer qu'il en fait en effet partie, mais qu'il cherche à le cacher ! car après tout n'est-il pas curieux qu'il écrive un livre où il y a les exos de la rue d'Ulm ?
j'en suis un peu déboussolée.
Yvette
Eh bien, vois-tu, ces énoncés ne sont pas secrets ; ils sont même publiés par la rms, mais seulement depuis 1890. Tiens, justement, Piteux_gore (j'adore ce pseudo) s'est mis en devoir de faire ceux de 1912. En outre, puisqu'il est question de ces incunables, j'ai rédigé à la demande d'un collègue il y a un an un corrigé de l'épreuve de 6 heures d'Ulm 1891, dont l'énoncé fut publié à l'époque par la rms (un sujet sur les coniques, alors que l'épreuve de 4 heures traitait des coniques, mais en 4 heures seulement. Tant pis pour ceux qui avaient bossé trop longtemps les cubiques en spéciales).
Je souhaite évoquer un sujet proche, i.e. les estimations des valeurs singulières d'une telle matrice. Avec les outils dont je dispose, et John_john et Lou16 contrôleront et/ou amélioreront, je trouve
$$\forall k \in \left\{1, \dotsc, \left \lfloor \tfrac{n}{2} \right \rfloor \right\}, \quad \sigma_k < \sqrt{\frac{n-1}{k}} + 1,
$$ où, selon la convention usuelle, je note $\sigma_1 \geqslant \sigma_2 \geqslant \dotsb \geqslant \sigma_n$ les valeurs singulières de la matrice. Pour la plus petite valeur singulière, j'ai
$$\sigma_n \leqslant \sqrt{2-\frac{1}{n}}.$$