Un problème sur un système non linéaire

Bonjour, chère communauté de mathématiciens. Je suis un nouveau membre en maths dans ce bel endroit et c'est mon premier message.
J'essaye de résoudre le problème suivant.

Soit $n,d\geq 2$ et $n,d\in \mathbb{N}$. Soit $p_{i}\in \mathbb{C}[x]$ des polynômes en $n$ variables $x_1, x_2, \ldots, x_n $ avec des coefficients complexes, tels que chaque polynôme ait un degré au plus $ d-1 $. Alors j'ai besoin de montrer ça
$$ x_k ^ d = p_k (x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad 1 \leq k \leq n
$$ a un nombre fini de solutions en nombres complexes.

Je pense que pour résoudre ce problème, nous pourrions peut-être utiliser l'algèbre linéaire. Mais le système d'équations n'est pas linéaire, alors comment pourrait-il avancer ?
Je vous remercie d'avance.