Expression d'une fonction impaire
dans Algèbre
Bonjour,
en classe de première, notre professeur nous a donné une feuille avec 8 courbes représentant chacune une fonction. Le but de l'exercice est de trouver l'expression des fonctions. La dernière n'est pas au programme de première mais le professeur nous a mis au défi de trouver son expression. Je me suis rendu compte que la fonction qu'on appellera $f$ était impaire mais au final, ça ne m'a pas vraiment aidé. Le professeur a indiqué que c'était une fonction de degré impair lorsque je lui avais dis qu'elle était impaire mais ne m'a rien indiqué de plus. Cela ne m'a pas aidé et ne m'a que fait stressé davantage lorsque je me suis rendu compte que ce n'était pas ce que j'avais utilisé. Je me suis également rendu compte que
$\forall{x} \in \mathbb{N}$*, $f (x) = (x - 2)^2$.
Après quelques instants, hormis pour $0$ on a :
$ f(x) = (\dfrac{x}{\sqrt{x^2}}) \times ((\sqrt{x^2} - 2)^2)$
Et là, gros problème : entre $-1$ et $1$, la courbe semble descendre au lieu de remonter jusqu'à 0 puis redescendre après, 0 étant interdit. Je sais bien que la fonction n'est pas définie sur 0 mais tout de méme, je ne comprends pas pourquoi ça ne "marche pas" sur $ ]-1 ; 1[$ . Si quelqu'un peut avoir la bienveillance de ne pas me donner l'expression directement, mais de m'aider, et me guider vers la résolution de cet exercice, je lui serai reconnaissant.
P-S : J'utilise $ \sqrt{x^2} $ comme valeur absolue.
en classe de première, notre professeur nous a donné une feuille avec 8 courbes représentant chacune une fonction. Le but de l'exercice est de trouver l'expression des fonctions. La dernière n'est pas au programme de première mais le professeur nous a mis au défi de trouver son expression. Je me suis rendu compte que la fonction qu'on appellera $f$ était impaire mais au final, ça ne m'a pas vraiment aidé. Le professeur a indiqué que c'était une fonction de degré impair lorsque je lui avais dis qu'elle était impaire mais ne m'a rien indiqué de plus. Cela ne m'a pas aidé et ne m'a que fait stressé davantage lorsque je me suis rendu compte que ce n'était pas ce que j'avais utilisé. Je me suis également rendu compte que
$\forall{x} \in \mathbb{N}$*, $f (x) = (x - 2)^2$.
Après quelques instants, hormis pour $0$ on a :
$ f(x) = (\dfrac{x}{\sqrt{x^2}}) \times ((\sqrt{x^2} - 2)^2)$
Et là, gros problème : entre $-1$ et $1$, la courbe semble descendre au lieu de remonter jusqu'à 0 puis redescendre après, 0 étant interdit. Je sais bien que la fonction n'est pas définie sur 0 mais tout de méme, je ne comprends pas pourquoi ça ne "marche pas" sur $ ]-1 ; 1[$ . Si quelqu'un peut avoir la bienveillance de ne pas me donner l'expression directement, mais de m'aider, et me guider vers la résolution de cet exercice, je lui serai reconnaissant.
P-S : J'utilise $ \sqrt{x^2} $ comme valeur absolue.
Réponses
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Là où tu as mis tes flèches, la dérivée est nulle. Ça peut être une piste.
Aussi, c’est impair et le terme constant est $0$ car la courbe passe par l’origine du repère (comme toute fonction impaire). -
Voici ce que m'affiche ma calculatrice lorsque je rentre la fausse expression donnée juste au dessus.
-
Dom :
Nous n'avons pas encore abordé les dérivées, et c'est le professeur qui a mis les flèches. Je ne comprends donc pas l'indication du professeur malheureusement. -
Une expression avec valeur absolue n’est pas une solution a priori pertinente.
C’est une fonction polynôme si j’ai bien compris donc on peut se passer de la valeur absolue.
Ha d’accord !!!
Alors on va travailler un peu plus « à la main ».
Essayons le degré 3.
Comment s’écrit le polynôme ? $ax^3+... $.
Remarque : on fixe le quadrillage à $1$ carreau l’unité j’imagine, sinon on ne peut pas travailler (enfin, si on pourrait mais bon...) et ainsi le repère est orthonormé (pour se fixer les idées là encore). -
Je crois que nous n'avons pas l'énoncé précis. Dom, ton « comme toute fonction impaire » est sans doute à préciser...
-
Bonjour.
Autrefois un élève de fin de première pouvait trouver une expression polynomiale de cette fonction. Plus exactement, d'une fonction ayant cette courbe approximativement. Car il en existe une infinité, même polynomiales. Même avec un tracé très précis, il peut être difficile de distinguer la courbe de f(x) de la courbe de 1,00000001f(x).
Cordialement. -
L'énoncé est clair : trouvez l'expression de la fonction dont la courbe est la suivante. Le professeur a simplement ajouté des flèches. (J'ai cru comprendre qu'elles servent lorsque l'on travaille les dérivées mais ce n'est pas le cas...).
L'expression d'une fonction polynôme de degré 3 s'écrit sous la forme :
$ ax^3 + bx^2 + cx + d$
Nous n'avons que peu d'indications, si ce n'est que les racines sont : $ S = {-2 ; 0 ; 2 } $ -
Le repère est orthonormé et l'unité est 1 carreau en abscisse et 1 carreau en ordonnée.
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Ais-je oublié d'autres indications utiles à la compréhension de l'exercice ou est-ce suffisant ?
-
On a un cadre désormais.
Essayons avec ce degré 3.
Comme $0$ est dans l’ensemble de définition (mise en garde de brian) et comme la fonction est impaire, la fonction a pour image 0 en 0.
On devrait s’apercevoir que ça ne marche pas ! Mais je pense que c’est bien de démarrer comme ça. -
Je pense que $a$ dans l'expression $ax^3 + bx^2 + cx + d$ est positif vu "l'allure" de la courbe.
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Dom
Que peut on en conclure ? Que la fonction est quintique ? -
Peut être que $d$ est nul ?
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
$ f(0) = a(0^3) + b(0^2) + c(0) +d = 0 $
$ f(0) = a\times0 + b\times0 + c\times0 + d = 0 $
$ f(0) = 0 + 0 + 0 + d = 0 $
$ f(0) = d = 0 $
Donc, $ d = 0 $ -
Avec tout ce qui a déjà été dit, une fois qu’on démontre que ce n’est pas de degré 3, on en déduit que c’est au moins de degré 5 (car ce n’est pas de degré 1, ça on le balaye tout de suite...).
-
Mais, Dom, si je ne comprends même pas très bien comment fonctionne une équation polynomiale de degré 3, comment puis-je trouver l'expression d'une fonction polynomiale de degré 5 dont je ne connais que 9 coordonnées ? Il m'en eût fallu bien plus pour conjecturer quoique ce soit, il me semble ?
-
Ok.
Pas de panique.
Je lis que la courbe passe par (1;1).
Ça permet d’obtenir une équation en a, b et c.
Et on peut s’en sortir en regardant d’autres points (noeuds) du quadrillage par lesquels passe la courbe.
Ça donnera plusieurs équations, qui forment un système.
C’est la méthode « à la main », un peu fastidieuse mais assez déterministe : on sait qu’on va y arriver. -
Il y a un polynôme de degré 7 qui convient, mais sans la notion de dérivation je ne sais pas comment on pourrait trouver la solution !
-
Bonjour,
On peut utiliser le fait que tout polynôme s'écrit sous la forme (produit des $(X-r)$ pour $r$ parcourant l'ensemble des racines) $\times$ (un autre polynôme). Et l'autre polynôme a un degré plus petit, donc il devrait être plus simple à trouver. -
Je ne sais pas si mes petits conseils seront bons ou non pour le début d'apprentissage de Mohammed mais voici quelques trucs sur les polynômes :
-La forme développée $ax^{2} + bx + c$ n'est pas toujours la meilleure. Je ne dis pas qu'ici c'est forcément le cas, mais on peut essayer d'autres pistes.
Notamment, il y a la forme factorisée qui peut s'avérer aider au moins un peu car, visiblement, on a les zéros de la fonction (je ne sais pas s'ils coupent vraiment les carreaux ou pas, le tracé est un peu gras)
-Pour le truc de la dérivée, tu peux admettre ici que si $P(x) = ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$, sa dérivée vaut $P'(x) = 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3cx^{2} + 2dx + e$. Au passage je pense que tu as compris la logique de dérivation des polynômes et : oui, c'est bien ça.
Et donc, là où les flèches plates sont écrites, la dérivée est nulle.
-Si la fonction est impaire, en remplaçant $x$ par $-x$ dans son expression, même si ce n'est pas une preuve, n'y a-t-il pas des termes que tu as "envie" de supprimer en disant qu'ils sont nuls ? Tu peux admettre que c'est vrai et n'avoir plus que trois coefficients à déterminer
Voilà, ça ne résout pas mais peut-être que ça ramène un peu la chose à ta portée de jeune homme voulant apprendre des choses nouvelles. -
Bon, au moins ça me parle le concept de systèmes de $n$ équtions à $n$ inconnues.
Bon, ça va être assez long, je vais devoir faire sans les matrices vu que je ne maîtrise pas à fond :-(.
Du coup,
$ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 1$ si $x=1$
Donc, on a :
$ a + b + c + d + e + f = 1 $
$ 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 0 $
$ 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 1 $
$ -32 a + 16b - 8c + 4d - 2e + f = 0 $
$ f = 0 $
$ -a + b - c + d - e = - 1 $
C'est bien cela, rassure moi, je ne me suis pas trompé sur toute la ligne ? -
Bon je vais essayer d'appliquer toutes les méthodes que vous m'avez gentiment donné. Je vous indiquerai si je trouve ou pas.
-
Bien sur qu'il y a une infinite de solutions, mais il est bien clair que le professeur demande d'en donner une qui soit simple (je ne sais pas si l'expression 'la plus simple' a vraiment un sens rigoureux). Le professeur a souligne les endroits ou la derivee $f'$ s'annule, cad $\pm 1$ et $\pm 2.$ Trouver une fonction simple $f'$ presentant ces caracteristiques n'est pas bien dur. Attention tout de meme ses multiples auront la meme propriete. Ceci fait, on peut trouver des candidats pour $f$, et choisir le bon candidat sachant de plus que $f(0)=0$ et $f(1)=1$ comme sur le dessin,
-
Si j'ai bien compris l'exercice: on donne le graphe d'une fonction et il faut deviner quelle est la fonction qui donne ce graphe? S'il n'y a pas une liste dans laquelle piocher cet exercice est totalement idiot et imbécile selon moi.
-
Bonjour,
On pourrait croire en regardant la figure qu'on cherche $P$ vérifiant $P(-1)=P'(-2)=P(2)=P'(2)=0$, $P(-1)=-1$, $P(1)=1$, $P'(-1)=P'(1)=0$, $P(0)=0$. Est-ce cela ? -
Quelle est la la définition d'une fonction impaire ±
? -
Bon, je vais abandonner cet exercice. Je ne peux aborder un nouveau chapitre avec une introduction aussi difficile en ayant que très peu de connaissances sur le sujet. Je me suis perdu moi-même entre les dérivées, les fonctions polynomiales et les systèmes d'équations à 6 inconnues où je dois créer de nouvelles équations avec que des $0$. Résultat : j'ai perdu 4 pages et énormément d'heures de réflexion pour rien. Il va falloir que j'augmente terriblement mon efficacité si je souhaite devenir chercheur. De toute façon, je n'avais aucune chance de réussir cet exercice et j'aurai la solution d'ici deux heures. Le seul point légèrement positif est qu'au moins, j'ai trouvé une expression pour : $ ]- \infty ; 1]\cup [1 ; + \infty [ $. Bon, je ne vais pas vous demander une solution, car ce serait une honte pour moi de tricher.
-
Il y a un polynôme de degré 5 dont la courbe est ressemblante bien que sa dérivée ne s'annule pas en $\pm1$.
-
Message pour les derniers intervenants :
1) on a exclu la notion de dérivée
2) on cherche une une fonction polynôme et on se fie au quadrillage
3) on ne connaît pas grand chose des fonctions polynômes -
Mohammed R:
Sais-tu ce qu'est une symétrie par rapport à un point? Deux points $A,A'$ sont symétriques par rapport à un point $O$ si ces trois points sont aligné et si $OA=OA'$. Et on dit que $A'$ est le symétrique de $A$ dans cette symétrie (et que $A$ est le symétrique de $A'$)
Les points du graphe d'une fonction impaire présentent une telle symétrie par rapport au point $O$ origine du repère utilisé.
C'est à dire que si un point $M$ figure sur le graphe alors le symétrique de $M$ dans la symétrie par rapport à $O$ est aussi un point du graphe. -
J'ai l'impression de tourner en rond. On peut très bien mettre $b$ une valeur très grande ou très petite ce qui brouillerait les pistes.
Fin de partie
Oui je sais, on l'a vu ça. $ f(-x) = - f(x) $ Le domaine est centré en 0 également. Problème, je ne sais pas quoi en faire. cf première expression que j'ai posté.
Ma foi, je ne sais même pas quels outils utiliser, quelle démarche adopter etc. -
Commence par faire l'inventaire des points qui sont sur ce graphe et dont on peut raisonnablement donner les coordonnées.
-
Oui GaBuZoMeu, c’est exactement « l’implicite qu’il faut comprendre ».
Peut-être aussi a-t-on des conditions supplémentaires (image en 3 et en 4...).
[small]Comme je ne te croise plus souvent, je te salue comme il se doit :-)[/small] -
$ ( -4 ; -4 ) ( -3 ; -1 ) ( -2 ; 0 ) ( -1 ; -1 ) ( 0 ; 0 ) ( 1 ; 1 )
( 2 ; 0 ) ( 3 ; 1 ) ( 4 ; 4 ) $ -
Dom écrivait:
> 1) on a exclu la notion de dérivée
Alors pourquoi y a-t-il des tangentes horizontales indiquées sur le graphe ?
Pour frimer, avec la méthode des différences divisées
$$\begin{array}{17c}
-2&&-2&&-1&&-1&&0&&1&&1&&2&&2\\\hline
\color{red}{0}&&0&&-1&&-1&&0&&1&&1&&0&&0\\
&\color{red}{0}&&-1&&0&&1&&1&&0&&-1&&0&\\
&&\color{red}{-1}&&1&&1&&0&&-1&&-1&&1&&\\
&&&\color{red}{2}&&0&&-\frac12&&-\frac12&&0&&2&&&\\
&&&&\color{red}{-1}&&-\frac16&&0&&\frac16&&1&&&&\\
&&&&&\color{red}{\frac5{18}}&&\frac1{18}&&\frac1{18}&&\frac5{18}&&&&&\\
&&&&&&\color{red}{-\frac2{27}}&&0&&\frac2{27}&&&&&&\\
&&&&&&&\color{red}{\frac1{54}}&&\frac1{54}&&&&&&&\\
&&&&&&&&\color{red}{0}&&&&&&&&
\end{array}$$
on trouve le polynôme
$$\begin{aligned}
0&+0\times(X+2)+(-1)\times(X+2)^2+2\times(X+2)^2(X+1)+(-1)\times(X+2)^2(X+1)^2\\
&{}+\frac5{18}(X+2)^2(X+1)^2X+\left(-\frac2{27}\right)\times(X+2)^2(X+1)^2X(X-1)\\
&{}+\frac1{54}(X+2)^2(X+1)^2X(X-1)^2 + 0\times (X+2)^2(X+1)^2X(X-1)^2(X-2)\;.
\end{aligned}$$
Je n'ai pas vérifié mes calculs. -
D'accord avec ta question "pourquoi ?"...
Je n'ai pas l'auteur sous la main. -
Et bien, ma foi, je ne sais pas. D'autant plus que nous n'allons pas aborder les dérivées, exponentielles, primitives, équations différentielles et intégrales qu'après les vacances.
@GaBuZoMeu
Merci pour ta réponse, je vais la donner au prof en lui disant que ce n'est pas moi qui l'ai faite pour qu'il m'explique plus en détail. -
La seule chose que je vois si l’on n’a pas les dérivées, c’est qu’on a la notion d’extremum local... difficile à utiliser.
-
Sans dérivées, on peut trouver une fonction polynôme de degré 5 comme celle de Calli après avoir observé le graphe de fonctions telles que $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = (x-2)^2$.
Rien à voir mais réponse à un point du premier message : la valeur absolue peut s'écrire ainsi sur le forum : $\lvert -x \rvert$. -
Pourquoi ne pas chercher une fonction polynomiale qui coïncide avec la fonction sur $\mathbb R ^+$ puis utiliser la parité.
Un polynôme de degré 4 par exemple. -
Si on pose un polynôme de degré pair « à droite » et que par symétrie centrale on colle la courbe « à gauche », le tout n’est pas un polynôme de degré impair.
Sauf erreur de compréhension de ma part. -
Dom, si j'ai bien compris il n'est pas demandé de trouver un polynôme mais seulement une expression de la fonction dont on connaît la courbe comme indiqué dans le titre.
-
Je n'ai toujours pas lu l'énoncé complet de l'exercice.
On ne doit pas utiliser la notion de dérivée mais le graphe indique que la fonction dérivée s'annule 4 fois, tous ceux qui savent des trucs sur la dérivée d'un polynôme savent que si c'est le graphe d'une fonction polynomiale on a une idée sur le degré du polynôme à considérer.
(je parle du graphe dessiné dans le message initial) -
Ok.
Je me fiais à cela « Le professeur a indiqué que c'était une fonction de degré impair » et j’ai interprété « fonction polynôme ». -
Fdp, il n'est pas dit que f est un polynôme. Donc pourquoi ne pas définir f par morceaux.
-
Oui mais il est dit « fonction de degré impair ». Comment interpréter cela ?
-
J'ai cherché P sous la forme $ P(x) =x(x^2-4)^2 Q(x)$ où Q est pair.
Avec $ P(1)=1 $ et $P'(1)=0$ on obtient les valeurs de $Q(1)$ et $Q'(1)$ et en choisissant $Q$ pair et de degré 2 on obtient
$P=\frac{x}{54} (x^2-4)^2(x^2+5)$
mais sans le fait que 2 et -2 sont racines doubles et sans la dérivée en 1, je ne sais pas comment les élèves auraient pu trouver ... -
En effet.
Par exemple, avec GeoGebra on place les points sur le quadrillage puis on appelle « Polynome » et on entre les points.
Ça fournit le polynôme de plus bas degré qui passe par lesdits points.
Ça ne renvoie pas le graphe désiré.
Je ne sais pas si l’on peut ajouter les contraintes sur la dérivée... -
Bonjour,
On peut peut-être poser g(x) = f(x) - x et remarquer que g s'annule en 5 points.
Mais je n'ai pas été au bout des calculs, surtout la contrainte sur la dérivée en 2 (?).
Cordialement. -
Courbe avec l’expression de lale :
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