Expression d'une fonction impaire
dans Algèbre
Bonjour,
en classe de première, notre professeur nous a donné une feuille avec 8 courbes représentant chacune une fonction. Le but de l'exercice est de trouver l'expression des fonctions. La dernière n'est pas au programme de première mais le professeur nous a mis au défi de trouver son expression. Je me suis rendu compte que la fonction qu'on appellera $f$ était impaire mais au final, ça ne m'a pas vraiment aidé. Le professeur a indiqué que c'était une fonction de degré impair lorsque je lui avais dis qu'elle était impaire mais ne m'a rien indiqué de plus. Cela ne m'a pas aidé et ne m'a que fait stressé davantage lorsque je me suis rendu compte que ce n'était pas ce que j'avais utilisé. Je me suis également rendu compte que
$\forall{x} \in \mathbb{N}$*, $f (x) = (x - 2)^2$.
Après quelques instants, hormis pour $0$ on a :
$ f(x) = (\dfrac{x}{\sqrt{x^2}}) \times ((\sqrt{x^2} - 2)^2)$
Et là, gros problème : entre $-1$ et $1$, la courbe semble descendre au lieu de remonter jusqu'à 0 puis redescendre après, 0 étant interdit. Je sais bien que la fonction n'est pas définie sur 0 mais tout de méme, je ne comprends pas pourquoi ça ne "marche pas" sur $ ]-1 ; 1[$ . Si quelqu'un peut avoir la bienveillance de ne pas me donner l'expression directement, mais de m'aider, et me guider vers la résolution de cet exercice, je lui serai reconnaissant.
P-S : J'utilise $ \sqrt{x^2} $ comme valeur absolue.
en classe de première, notre professeur nous a donné une feuille avec 8 courbes représentant chacune une fonction. Le but de l'exercice est de trouver l'expression des fonctions. La dernière n'est pas au programme de première mais le professeur nous a mis au défi de trouver son expression. Je me suis rendu compte que la fonction qu'on appellera $f$ était impaire mais au final, ça ne m'a pas vraiment aidé. Le professeur a indiqué que c'était une fonction de degré impair lorsque je lui avais dis qu'elle était impaire mais ne m'a rien indiqué de plus. Cela ne m'a pas aidé et ne m'a que fait stressé davantage lorsque je me suis rendu compte que ce n'était pas ce que j'avais utilisé. Je me suis également rendu compte que
$\forall{x} \in \mathbb{N}$*, $f (x) = (x - 2)^2$.
Après quelques instants, hormis pour $0$ on a :
$ f(x) = (\dfrac{x}{\sqrt{x^2}}) \times ((\sqrt{x^2} - 2)^2)$
Et là, gros problème : entre $-1$ et $1$, la courbe semble descendre au lieu de remonter jusqu'à 0 puis redescendre après, 0 étant interdit. Je sais bien que la fonction n'est pas définie sur 0 mais tout de méme, je ne comprends pas pourquoi ça ne "marche pas" sur $ ]-1 ; 1[$ . Si quelqu'un peut avoir la bienveillance de ne pas me donner l'expression directement, mais de m'aider, et me guider vers la résolution de cet exercice, je lui serai reconnaissant.
P-S : J'utilise $ \sqrt{x^2} $ comme valeur absolue.
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Réponses
Aussi, c’est impair et le terme constant est $0$ car la courbe passe par l’origine du repère (comme toute fonction impaire).
Nous n'avons pas encore abordé les dérivées, et c'est le professeur qui a mis les flèches. Je ne comprends donc pas l'indication du professeur malheureusement.
C’est une fonction polynôme si j’ai bien compris donc on peut se passer de la valeur absolue.
Ha d’accord !!!
Alors on va travailler un peu plus « à la main ».
Essayons le degré 3.
Comment s’écrit le polynôme ? $ax^3+... $.
Remarque : on fixe le quadrillage à $1$ carreau l’unité j’imagine, sinon on ne peut pas travailler (enfin, si on pourrait mais bon...) et ainsi le repère est orthonormé (pour se fixer les idées là encore).
Autrefois un élève de fin de première pouvait trouver une expression polynomiale de cette fonction. Plus exactement, d'une fonction ayant cette courbe approximativement. Car il en existe une infinité, même polynomiales. Même avec un tracé très précis, il peut être difficile de distinguer la courbe de f(x) de la courbe de 1,00000001f(x).
Cordialement.
L'expression d'une fonction polynôme de degré 3 s'écrit sous la forme :
$ ax^3 + bx^2 + cx + d$
Nous n'avons que peu d'indications, si ce n'est que les racines sont : $ S = {-2 ; 0 ; 2 } $
C'est ce que je visais avec mon « Je crois que nous n'avons pas l'énoncé précis ». Et Mohammed ferait bien de lire ça.
Essayons avec ce degré 3.
Comme $0$ est dans l’ensemble de définition (mise en garde de brian) et comme la fonction est impaire, la fonction a pour image 0 en 0.
On devrait s’apercevoir que ça ne marche pas ! Mais je pense que c’est bien de démarrer comme ça.
Que peut on en conclure ? Que la fonction est quintique ?
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
$ f(0) = a(0^3) + b(0^2) + c(0) +d = 0 $
$ f(0) = a\times0 + b\times0 + c\times0 + d = 0 $
$ f(0) = 0 + 0 + 0 + d = 0 $
$ f(0) = d = 0 $
Donc, $ d = 0 $
Pas de panique.
Je lis que la courbe passe par (1;1).
Ça permet d’obtenir une équation en a, b et c.
Et on peut s’en sortir en regardant d’autres points (noeuds) du quadrillage par lesquels passe la courbe.
Ça donnera plusieurs équations, qui forment un système.
C’est la méthode « à la main », un peu fastidieuse mais assez déterministe : on sait qu’on va y arriver.
On peut utiliser le fait que tout polynôme s'écrit sous la forme (produit des $(X-r)$ pour $r$ parcourant l'ensemble des racines) $\times$ (un autre polynôme). Et l'autre polynôme a un degré plus petit, donc il devrait être plus simple à trouver.
-La forme développée $ax^{2} + bx + c$ n'est pas toujours la meilleure. Je ne dis pas qu'ici c'est forcément le cas, mais on peut essayer d'autres pistes.
Notamment, il y a la forme factorisée qui peut s'avérer aider au moins un peu car, visiblement, on a les zéros de la fonction (je ne sais pas s'ils coupent vraiment les carreaux ou pas, le tracé est un peu gras)
-Pour le truc de la dérivée, tu peux admettre ici que si $P(x) = ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$, sa dérivée vaut $P'(x) = 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3cx^{2} + 2dx + e$. Au passage je pense que tu as compris la logique de dérivation des polynômes et : oui, c'est bien ça.
Et donc, là où les flèches plates sont écrites, la dérivée est nulle.
-Si la fonction est impaire, en remplaçant $x$ par $-x$ dans son expression, même si ce n'est pas une preuve, n'y a-t-il pas des termes que tu as "envie" de supprimer en disant qu'ils sont nuls ? Tu peux admettre que c'est vrai et n'avoir plus que trois coefficients à déterminer
Voilà, ça ne résout pas mais peut-être que ça ramène un peu la chose à ta portée de jeune homme voulant apprendre des choses nouvelles.
Bon, ça va être assez long, je vais devoir faire sans les matrices vu que je ne maîtrise pas à fond :-(.
Du coup,
$ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 1$ si $x=1$
Donc, on a :
$ a + b + c + d + e + f = 1 $
$ 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 0 $
$ 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 1 $
$ -32 a + 16b - 8c + 4d - 2e + f = 0 $
$ f = 0 $
$ -a + b - c + d - e = - 1 $
C'est bien cela, rassure moi, je ne me suis pas trompé sur toute la ligne ?
On pourrait croire en regardant la figure qu'on cherche $P$ vérifiant $P(-1)=P'(-2)=P(2)=P'(2)=0$, $P(-1)=-1$, $P(1)=1$, $P'(-1)=P'(1)=0$, $P(0)=0$. Est-ce cela ?
?
1) on a exclu la notion de dérivée
2) on cherche une une fonction polynôme et on se fie au quadrillage
3) on ne connaît pas grand chose des fonctions polynômes
Sais-tu ce qu'est une symétrie par rapport à un point? Deux points $A,A'$ sont symétriques par rapport à un point $O$ si ces trois points sont aligné et si $OA=OA'$. Et on dit que $A'$ est le symétrique de $A$ dans cette symétrie (et que $A$ est le symétrique de $A'$)
Les points du graphe d'une fonction impaire présentent une telle symétrie par rapport au point $O$ origine du repère utilisé.
C'est à dire que si un point $M$ figure sur le graphe alors le symétrique de $M$ dans la symétrie par rapport à $O$ est aussi un point du graphe.
Fin de partie
Oui je sais, on l'a vu ça. $ f(-x) = - f(x) $ Le domaine est centré en 0 également. Problème, je ne sais pas quoi en faire. cf première expression que j'ai posté.
Ma foi, je ne sais même pas quels outils utiliser, quelle démarche adopter etc.
Peut-être aussi a-t-on des conditions supplémentaires (image en 3 et en 4...).
[small]Comme je ne te croise plus souvent, je te salue comme il se doit :-)[/small]
( 2 ; 0 ) ( 3 ; 1 ) ( 4 ; 4 ) $
> 1) on a exclu la notion de dérivée
Alors pourquoi y a-t-il des tangentes horizontales indiquées sur le graphe ?
Pour frimer, avec la méthode des différences divisées
$$\begin{array}{17c}
-2&&-2&&-1&&-1&&0&&1&&1&&2&&2\\\hline
\color{red}{0}&&0&&-1&&-1&&0&&1&&1&&0&&0\\
&\color{red}{0}&&-1&&0&&1&&1&&0&&-1&&0&\\
&&\color{red}{-1}&&1&&1&&0&&-1&&-1&&1&&\\
&&&\color{red}{2}&&0&&-\frac12&&-\frac12&&0&&2&&&\\
&&&&\color{red}{-1}&&-\frac16&&0&&\frac16&&1&&&&\\
&&&&&\color{red}{\frac5{18}}&&\frac1{18}&&\frac1{18}&&\frac5{18}&&&&&\\
&&&&&&\color{red}{-\frac2{27}}&&0&&\frac2{27}&&&&&&\\
&&&&&&&\color{red}{\frac1{54}}&&\frac1{54}&&&&&&&\\
&&&&&&&&\color{red}{0}&&&&&&&&
\end{array}$$
on trouve le polynôme
$$\begin{aligned}
0&+0\times(X+2)+(-1)\times(X+2)^2+2\times(X+2)^2(X+1)+(-1)\times(X+2)^2(X+1)^2\\
&{}+\frac5{18}(X+2)^2(X+1)^2X+\left(-\frac2{27}\right)\times(X+2)^2(X+1)^2X(X-1)\\
&{}+\frac1{54}(X+2)^2(X+1)^2X(X-1)^2 + 0\times (X+2)^2(X+1)^2X(X-1)^2(X-2)\;.
\end{aligned}$$
Je n'ai pas vérifié mes calculs.
Je n'ai pas l'auteur sous la main.
@GaBuZoMeu
Merci pour ta réponse, je vais la donner au prof en lui disant que ce n'est pas moi qui l'ai faite pour qu'il m'explique plus en détail.
Rien à voir mais réponse à un point du premier message : la valeur absolue peut s'écrire ainsi sur le forum : $\lvert -x \rvert$.
Un polynôme de degré 4 par exemple.
Sauf erreur de compréhension de ma part.
On ne doit pas utiliser la notion de dérivée mais le graphe indique que la fonction dérivée s'annule 4 fois, tous ceux qui savent des trucs sur la dérivée d'un polynôme savent que si c'est le graphe d'une fonction polynomiale on a une idée sur le degré du polynôme à considérer.
(je parle du graphe dessiné dans le message initial)
Je me fiais à cela « Le professeur a indiqué que c'était une fonction de degré impair » et j’ai interprété « fonction polynôme ».
Avec $ P(1)=1 $ et $P'(1)=0$ on obtient les valeurs de $Q(1)$ et $Q'(1)$ et en choisissant $Q$ pair et de degré 2 on obtient
$P=\frac{x}{54} (x^2-4)^2(x^2+5)$
mais sans le fait que 2 et -2 sont racines doubles et sans la dérivée en 1, je ne sais pas comment les élèves auraient pu trouver ...
Par exemple, avec GeoGebra on place les points sur le quadrillage puis on appelle « Polynome » et on entre les points.
Ça fournit le polynôme de plus bas degré qui passe par lesdits points.
Ça ne renvoie pas le graphe désiré.
Je ne sais pas si l’on peut ajouter les contraintes sur la dérivée...
On peut peut-être poser g(x) = f(x) - x et remarquer que g s'annule en 5 points.
Mais je n'ai pas été au bout des calculs, surtout la contrainte sur la dérivée en 2 (?).
Cordialement.