Avec un certain enervement, je ne vois pas exploite sur le fil le fait que $f'(x)=C(x^2-1)(x^2-4)$ qui donne, puisque $f(0)=0$ le polynome $f(x)=C(\frac{x^5}{5}-\frac{5x^3}{3}+4x)$ et, puisque $f(1)=1:$
$$f(x)=\frac{1}{38}(3x^5-25 x^3+60 x).$$
Aie, merci lale. On ne se decourage pas et on cherche $f$ polynome impair de degre 7, avec
$$f'(x)=C(x^2+b^2)(x^2-1)(x^2-4).$$ Pour satisfaire $f(0)=f(2)=0$ j'ai trouve $b^2=160/7.$ Pour calculer $C$ a partir de$ f(1)=1,$ oh la barbe assez de temps perdu a s'amuser.
À tout hasard, on peut vérifier que la méthode des différences finies pour l'interpolation d'Hermite donne bien (sans avoir besoin de la moindre réflexion, juste du soin) le polynôme trouvé par Lale. ;-)
Réponses
$$f(x)=\frac{1}{38}(3x^5-25 x^3+60 x).$$
$$f'(x)=C(x^2+b^2)(x^2-1)(x^2-4).$$ Pour satisfaire $f(0)=f(2)=0$ j'ai trouve $b^2=160/7.$ Pour calculer $C$ a partir de$ f(1)=1,$ oh la barbe assez de temps perdu a s'amuser.